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第七章机械能守恒定律目标定位1.熟练掌握恒力做功的计算方法.2.能够分析摩擦力做功的情况，并会计算一对摩擦力对两物体所做的功.3.能区分平均功率和瞬时功率，并会应用P＝和P＝Fv计算功率.4.进一步掌握机车两种启动的过程分析及有关计算.学案4习题课：功和功率Wt知识探究自我检测知识探究一、功的计算1.功的公式W＝Flcosα，只适用于恒力做功.即F为恒力，l是物体相对地面的位移，流程图如下：2.变力做功的计算(1)将变力做功转化为恒力做功.当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积.(2)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功.例1如图1甲所示，在风洞实验室里，一根足够长的细杆水平固定，某金属小球穿在细杆上静止于细杆左端，现有水平向右的风力F作用于小球上，风力F随时间t变化的F－t图象如图乙所示，小球沿细杆运动的v－t图象如图丙所示，取g＝10m/s2，试求：在0～5s内风力所做的功.图1解析由题图丙可知0～2s内的位移：x1＝v2t1＝12×2×2m＝2m，2～5s内的位移：x2＝vt2＝2×3m＝6m，由题图乙可知F1＝3N，F2＝2N，则风力做功为W＝F1x1＋F2x2＝18J.答案18J例2将一质量为m的小球竖直向上抛出，小球上升h后又落回地面，在整个过程中受到的空气阻力大小始终为f，则关于这个过程中重力与空气阻力所做的功，下列说法正确的是()A.重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为－2fhB.重力做的功为0，空气阻力做的功也为0C.重力做的功为0，空气阻力做的功为－2fhD.重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为0解析重力是恒力，可以用公式W＝Flcosα直接计算，由于位移为零，所以重力做的功为零；空气阻力在整个过程中方向发生了变化，不能直接用公式计算，可进行分段计算，上升过程和下降过程空气阻力做的功均为－fh，因此在整个过程中空气阻力做的功为－2fh.故选项C正确.答案C二、摩擦力做功的特点与计算1.不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功.2.一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，所以两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零.3.一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，所以两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零.例3质量为M的木板放在光滑水平面上，如图2所示.一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板所做的功各为多少？滑动摩擦力对滑块、木板做的总功是多少？图2解析由题图可知，木板的位移为lM＝x时，滑块的位移为lm＝l＋x，m与M之间的滑动摩擦力Ff＝μmg.由公式W＝Flcosα可得，摩擦力对滑块所做的功为Wm＝μmglmcos180°＝－μmg(l＋x)，负号表示做负功.摩擦力对木板所做的功为WM＝μmglM＝μmgx.这对滑动摩擦力做的总功：W＝Wm＋WM＝－μmg(l＋x)＋μmgx＝－μmgl答案－μmg(l＋x)μmgx－μmgl三、功率的计算1.首先明确所求的是平均功率还是瞬时功率.(1)P＝Wt只能计算平均功率，求解时注意是哪一段时间内的平均功率；(2)P＝Fv一般计算瞬时功率(但当v为平均速度时也可以计算平均功率)，求解时应明确是哪一时刻的瞬时功率.2.应用公式P＝Fv时需注意(1)F与v方向在同一直线上时：P＝Fv.(2)F与v方向有一夹角α时：P＝Fvcosα.例4质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力F的作用.力F的大小与时间t的关系如图3所示，力的方向保持不变，则()图3A.3t0时刻的瞬时功率为5F20t0mB.3t0时刻的瞬时功率为15F20t0mC.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为23F20t04mD.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为25F20t06m解析0～2t0时间内，物体的加速度a1＝F0m，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝2F0t0m，位移x1＝2F0t20m，2t0～3t0时间内，加速度a2＝3F0m，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝5F0t0m，2t0～3t0时间内的位移x2＝7F0t202m；所以3t0时刻的瞬时功率P＝3F0v2＝15F20t0m，B对，A错；3t0内的平均功率P＝Wt＝F0x1＋3F0x23t0＝25F20t06m，D对，C错.答案BD针对训练如图4所示，从空中以40m/s的初速度平抛一重为10N的物体，物体在空中运动3s落地，不计空气阻力，取g＝10m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为()A.300WB.400WC.500WD.700WA图4解析物体落地瞬间vy＝gt＝30m/s，所以PG＝Gvy＝300W，故A正确.四、机车启动问题1.机车的输出功率：P＝Fv，其中F为机车的牵引力，v为机车的瞬时速度.2.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝PFmin＝PF阻.3.机车以恒定加速度启动，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不最大，v＝PFvm＝PF阻.4.机车以恒定功率运行时，牵引力的功W＝Pt.例5如图5所示，为修建高层建筑常用的塔式起重机.在起重机将质量m＝5×103kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02m/s的匀速运动.取g＝10m/s2，不计额外功.求：图5(1)起重机允许的最大输出功率；解析设起重机允许的最大输出功率为P0，重物达到最大速度时拉力F0等于重力.P0＝F0vm，F0＝mg.代入数据，得：P0＝5.1×104W.答案5.1×104W(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率.解析匀加速运动结束时，起重机达到允许的最大输出功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1，F－mg＝ma，v1＝at1.代入数据，得t1＝5s.t＝2s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，v2＝at，P＝Fv2.得：P＝2.04×104W.答案5s2.04×104W1.(功的计算)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图6(a)、(b)所示.设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是()自我检测1234图6A.W1＝W2＝W3B.W1＜W2＜W3C.W1＜W3＜W2D.W1＝W2＜W31234解析由速度图象可知，第1s、2s、3s内的位移分别为0.5m、0.5m、1m，由F－t图象及功的公式W＝Flcosθ，可求知：W1＝0.5J，W2＝1.5J，W3＝2J.故本题中A、C、D错，B正确.答案B12342.(摩擦力做功的特点)如图7所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用的力，则对力做功的情况，下列说法正确的是()A.A、B都克服摩擦力做功B.AB间弹力对A、B都不做功C.摩擦力对B做负功，对A不做功D.AB间弹力对A不做功，对B做正功1234图7解析A、B间的相互作用力Ff1与Ff2、FAB与FBA如图所示，A没有发生位移，Ff2、FBA对A不做功，B发生了位移，Ff1做负功，FAB与位移成90°角，不做功，B、C对，A、D错.答案BC123412343.(功率的计算)一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在前t秒内重力对它做功的平均功率P及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为(t秒末小球未着地)()A.P＝mg2t2，P＝12mg2t2B.P＝mg2t2，P＝mg2t2C.P＝12mg2t，P＝mg2tD.P＝mg2t，P＝2mg2t1234P＝Wt＝mg·12gt2t＝12mg2tt秒末重力做功的瞬时功率P＝Fv＝mg·gt＝mg2t.故C正确.答案C解析前t秒内重力做功的平均功率12344.(机车启动问题分析)一辆轿车质量为m，在平直公路上运行，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一定时间，其速度由零增大到最大值vm，若所受阻力恒为f.则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图象正确的是()1234解析由于汽车受到的牵引力不变，加速度不变，所以汽车在开始阶段做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不增加了，再增加速度，就须减小牵引力，当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值vm＝PF＝Pf，所以A、C、D正确，B错误.答案ACD