格林公式及其应用教案

丽水学院教案课程名称：高等数学课程代码：B2授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清院别：理学院2013年5月13日1一、授课题目§103格林公式及其应用二、教学时间安排：共3课时三、教学目的、要求1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。4．会求全微分的原函数。四、教学重点和难点重点:格林公式的应用难点:灵活应用格林公式进行简化计算。五、教学方法及手段启发式讲授法结合多媒体教学。六、教学过程设计准备知识1．单连通与复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域2．边界曲线的正向：对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边（一）格林公式1．定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(其中L是D的取正向的边界曲线2．简要证明分析先就D既是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明设D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因为yP连续所以由二重积分的计算法有2dxxxPxxPdxdyyyxPdxdyyPbaxxbaD)]}(,[)](,[{}),({12)()(21另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有abbaLLLdxxxPdxxxPPdxPdxPdx)](,[)](,[2121dxxxPxxPba)]}(,[)](,[{21因此LDPdxdxdyyP设D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}类似地可证LDQdxdxdyxQ由于D既是X－型的又是Y－型的所以以上两式同时成立两式合并即得LDQdyPdxdxdyyPxQ注意对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向3．格林公式的简单应用：（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1例1/设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明Ldyxxydx022证令P2xyQx2则022xxyPxQ因此由格林公式有0022dxdydyxxydxDL(为什么二重积分前有“”号？)（2）化二重积分为曲线积分例2计算Dydxdye2其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域分析要使2yeyPxQ只需P02yxeQ解令P02yxeQ则2yeyPxQ因此由格林公式有3BOABOAyDydyxedxdye22)1(2111022edxxedyxexOAy（3）计算平面区域面积设区域D的边界曲线为L取PyQx则由格林公式得LDydxxdydxdy2或LDydxxdydxdyA21例3椭圆xacosybsin所围成图形的面积A分析只要1yPxQ就有AdxdydxdyyPxQDD)(解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域令yP21xQ21则12121yPxQ于是由格林公式LLDxdyydxxdyydxdxdyA2121212022)cossin(21dabab2021dabab4．注意格林公式成立的条件：例4计算Lyxydxxdy22其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向解令22yxyP22yxxQ则当x2y20时有yPyxxyxQ22222)(记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得0)(22dxdyyPxQyxydxxdyDL当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得lLyxydxxdyyxydxxdy22220)(122dxdyyPxQyxydxxdyDlL其中l的方向取逆时针方向于是4lLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2注：计算结果与L围成的区域是否包括原点有关！因为P、Q的偏导数在原点不连续。（二）平面上曲线积分与路径无关的条件1．定义：设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式21LLQdyPdxQdyPdx恒成立就说曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关否则说与路径有关设曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则有21LLQdyPdxQdyPdx于是有21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx0)(21LLQdyPdx所以有以下等价的结论曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分LQdyPdx等于零2．定理2设开区域G是一个单连通区域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是等式xQyP在G内恒成立（证明略）注意定理要求区域G是单连通区域且函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立如前例4设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问022Lyxydxxdy是否一定成立？提示这里22yxyP和22yxxQ在点(00)不连续5因为当x2y20时yPyxxyxQ22222)(所以如果(00)不在L所围成的区域内则结论成立而当(00)在L所围成的区域内时结论不成立，因而计算结果与积分路径有关破坏函数P、Q及yP、xQ连续性的点称为奇点3．定理2的应用：若在某区域内，恒有xQyP成立，则1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算（若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线转化为闭曲线）;3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数（放第3课时教学）例5计算Ldyxxydx22其中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧解因为xxQyP2在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分Ldyxxydx22与路径无关于是，有ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx22222211102dy又如课件中例5（三）二元函数的全微分求积（第3课时）曲线积分在G内与路径无关表明曲线积分的值只与起点从点(x0y0)与终点(xy)有关如果LQdyPdx与路径无关则把它记为),(),(00yxyxQdyPdx即),(),(00yxyxLQdyPdxQdyPdx若起点(x0y0)为G内的一定点终点(xy)为G内的动点则u(xy)),(),(00yxyxQdyPdx为G内的的函数二元函数u(xy)的全微分为du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy6表达式P(xy)dx+Q(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dx+Q(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式xQyP在G内恒成立简要证明必要性假设存在某一函数u(xy)使得duP(xy)dxQ(xy)dy则有yxuxuyyP2)(xyuyuxxQ2)(因为yPyxu2、xQxyu2连续所以xyuyxu22即xQyP充分性因为在G内xQyP所以积分LdyyxQdxyxP),(),(在G内与路径无关在G内从点(x0y0)到点(xy)的曲线积分可表示为考虑函数u(xy)),(),(00),(),(yxyxdyyxQdxyxP因为u(xy)),(),(00),(),(yxyxdyyxQdxyxPxxyydxyxPdyyxQ00),(),(0所以),(),(),(000yxPdxyxPxdyyxQxxuxxyy类似地有),(yxQyu从而duP(xy)dxQ(xy)dy即P(xy)dxQ(xy)dy是某一函数的全微分并且有求原函数的计算公式),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxuyyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(07xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0例6验证22yxydxxdy在右半平面(x0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里22yxyP22yxxQ因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有yPyxxyxQ22222)(所以在右半平面内22yxydxxdy是某个函数的全微分取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线则所求函数为),()0,1(22),(yxyxydxxdyyxuyyxxdy0220xyarctan问为什么(x0y0)不取(00)?例7验证在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里Pxy2Qx2y因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数且有yPxyxQ2所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(xy)的折线则所求函数为),()0,0(22),(yxydyxdxxyyxu20220202yxydyxydyxyy练习：PT作业：PT