高中数学必修5常考题型：等比数列

等比数列【知识梳理】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.3．等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明【例1】已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．[解]依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bnbn－1＝123－n124－n＝12－1＝2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)或anan－1＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．【对点训练】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝12an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝12an知an≠0，∴an＋1an＝12.∴{an}是等比数列.题型二、等比数列的通项公式【例2】在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解](1)因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8，②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝22n－53.(2)法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，③a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，④由④③得q＝12，从而a1＝32.又an＝1，所以32×12n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．【对点训练】2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是()A．405B．－405C．135D．－135(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：(1)选A∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝a2a1＝－3，∴a5＝405.(2)根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或12，由a25＝a10＝a1q90⇒a10，又数列{an}递增，所以q＝2.a25＝a100⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.答案：(1)A(2)2n题型三、等比中项【例3】设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B.4C．6D．8[解析]∵an＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.[答案]B【类题通法】等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用．可以简化计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．【对点训练】3．已知1既是a2与b2的等比中项，又是1a与1b的等差中项，则a＋ba2＋b2的值是()A．1或12B.1或－12C．1或13D．1或－13解析：选D由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，1a＋1b＝2，∴ab＝1，a＋b＝2或ab＝－1，a＋b＝－2.因此a＋ba2＋b2的值为1或－13.【练习反馈】1．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，则公比q等于()A.14B.12C．2D．8解析：选B∵{an}为等比数列，∴a4＋a6＝(a1＋a3)q3，∴q3＝18，∴q＝12.2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A．9B.3C．－3D．－9解析：选Da1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3，a4成等比数列，则a23＝a1a4，所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.解析：∵3an＋1－an＝0，∴an＋1an＝13，因此{an}是以13为公比的等比数列，又a1＝2，所以an＝2×13n－1.答案：2×13n－14．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q＞1，∴q＝2.答案：25．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an.(2)若等比数列{an}的首项a1＝98，末项an＝13，公比q＝23，求项数n.(3)若等比数列{an}中an＋4＝a4，求公比q.解：(1)由已知得a1q4＝8，a1q6＝2，得q2＝14a1＝128，∵an＞0，∴q＝12，a1＝128.∴an＝128×12n－1＝28－n.(2)由an＝a1·qn－1，得13＝9823n－1，即23n－1＝233，得n＝4.(3)∵an＋4＝a4q(n＋4)－4＝a4qn，又an＋4＝a4，∴qn＝1，∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1.