二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1)二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。(2)二元函数取得极值的必要条件：设),(yxfz在点),(00yx处可微分且在点),(00yx处有极值，则0),('00yxfx，0),('00yxfy，即),(00yx是驻点。(3)二元函数取得极值的充分条件：设),(yxfz在),(00yx的某个领域内有连续上二阶偏导数，且),('00yxfx0),('00yxfy，令Ayxfxx),('00，Byxfxy),('00，Cyxfyy),('00，则当02ACB且A0时，f),(00yx为极大值；当02ACB且A0，f),(00yx为极小值；02ACB时，),(00yx不是极值点。注意：当B2－AC=0时，函数z=f(x,y)在点),(00yx可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1求函数z=x3+y2－2xy的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：yxxz232，xyyz22．xxz622,22yxz,222yz．再求函数的驻点．令xz=0，yz=0，得方程组.022,0232xyyx求得驻点(0，0)、），（3232．利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0,0)，由于A=0,B=－2，C=2，B2－AC0,故(0,0)不是函数z=f(x,y)的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A=4,B=－2，C=2,B2－AC=－40,且A0,则2743232），（f为函数的一个极小值．例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz的极值点和极值.【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。【解】因为0182106222zyzyxyx，所以02262xzzxzyyx，0222206yzzyzyzyx.令0,0yzxz得,0103,03zyxyx故.,3yzyx将上式代入0182106222zyzyxyx，可得3,3,9zyx或.3,3,9zyx由于02)(22222222xzzxzxzy，,02222622yxzzxzyzyxzyxz02)(22222022222yzzyzyzyyzyz，所以61)3,3,9(22xzA，21)3,3,9(2yxzB，35)3,3,9(22yzC，故03612BAC，又061A，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由61)3,3,9(22xzA，21)3,3,9(2yxzB，35)3,3,9(22yzC，可知03612BAC，又061A，从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9,-3)=-3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设在点),(),,(yxyxf),(00yx某领域内有连续偏导数，引入辅助函数),(),(),,(yxyxfyxF解联立方程组0),(0),('),('0),('),('yxyxyxfyFyxyxfxFyyxx得),(00yx可能是),(yxfz在条件0),(yx下的极值点例3经过点)1,1,1(的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为)0,0,0(,1cbaczbyax．因为平面过点)1,1,1(，所以该点坐标满足此平面方程，即有1111cba．(1)设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V，则abcV61．(2)原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数)1111(61),,(cbaabccbaL．求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：.061,061,061222cabbacabc由此方程组和（9）解得a=b=c=3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a=b=c=3为所求．即平面x+y+z=3．与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为.293613minV例4某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：221028321415yxxyyxR．⑴在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．【解】⑴利润函数为)(),(yxRyxL221028311315yxxyyx，求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：.020831,04813yxyLxyxL解得75.0x，25.1y．则)25.1,75.0(为),(yxL惟一的驻点．又由题意，),(yxL可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为25.39)25.1,75.0(L万元．因此，当电视广告费与报纸广告费分别为75.0万元和25.1万元时，最大利润为25.39万元，此即为最佳广告策略．⑵求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件5.1yx下，求),(yxL的最大值．作拉格朗日函数),(),(),(yxyxLyxF)5.1(102831131522yxyxxyyx．求函数),(yxF的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：.020831,04813yxyFxyxF并和条件5.1yx联立解得0x，5.1y．这是惟一的驻点，又由题意，),(yxL一定存在最大值，故39)5.1,0(L万元为最大值．【评注】本题也可由5.1yx，解得xy5.1，代入目标函数转换成一元函数求解。3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。例5:（2007数学一）求函数2222(,)2fxyxyxy在区域D上的最大值和最小值，其中：22{(,)4,0}Dxyxyy。【分析】由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为2(,)22xfxyxxy，2(,)42yfxyyxy，解方程：22220,420xyfxxyfyxy得开区域内的可能极值点为(2,1).其对应函数值为(2,1)2.f又当y=0时，2(,)fxyx在22x上的最大值为4，最小值为0.当224,0,22xyyx，构造拉格朗日函数222222(,,)2(4)Fxyxyxyxy解方程组22222220,4220,40,xyFxxyxFyxyyFxy得可能极值点：53(0,2),(,)22，其对应函数值为537(0,2)8,(,).224ff比较函数值72,0,4,8,4，知f(x,y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.【评注】当224,0,22xyyx，224xy代入目标函数转换成一元函数求解更简单。例3:（2005数学二）已知函数z=f(x,y)的全微分ydyxdxdz22，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22yxyxD上的最大值和最小值.【解】由题设，知xxf2，yyf2，于是)(),(2yCxyxf，且yyC2)(，从而CyyC2)(，再由f(1,1)=2，得C=2,故.2),(22yxyxf（下略）