连续型随机变量及其概率密度

第四节连续型随机变量及其概率密度教学重点1连续型随机变量的概率密度2正态分布要求：1、连续型随机变量的密度函数的定义和性质，2、均匀分布、指数分布的定义及性质；4、正态分布的定义、性质、密度函数及几何性质；5、一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系；6、会利用正态分布密度函数的性质求积分一连续型随机变量1定义()()xFxftdt,XFxfxx设随机变量的分布函数为，若存在一个非负函数使对于任意，恒有xXfxX连续型随机变量分布成立，则称X为，F称为的，称为函数概率密度函数的，简称密度函数由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数2概率密度的性质1非负性()0fx()1fxdx2规范性这两个性质是判断一个函数是否为一个连续型r.v.X的概率密度的充要条件f(x)xo分布曲线面积为121121221,,()()()()xxxxpxXxFxFxfxdx3对利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率'4()()()fxxFxfx若在点处连续，则有0()limxxxxxftdt若x是f(x)的连续点，则：xxxXxPx)(lim0=f(x)故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.x],(xxx(1)连续型r.v.取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为请注意:xaFaFaXxaPaXP00.PXa0,x当时得到0.PXa由P(B)=1,不能推出B=S由P(A)=0,不能推出A00(3):{}0.{},0,,pXxXx注：由可知故一个事件的概率为只表示这事件发生的可能性很小但这事件并不一定是不可能事件。)()(bXaPbXaP)(bXaP对连续型r.v.X,有)(bXaP取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则，的密度函数为已知连续型随机变量若,GGXxfX说明:由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．GdxxfGXP(此公式非常重要)要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.],(xxxxxf)(xxf)(在连续型r.v理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型r.v理论中所起的作用相类似.{}()PxXxxfxx例题选讲例题1设随机变量X具有随机密度函数2()1cfxx(3){01}PX试求(1)c(2)X的分布函数；22||1()10||11(2113).22XAxfxxxAX例题设随机变量的概率密度为试求()系数；)随机变量的分布函数；（）随机变量落在区间（-，2713)(2;1,043,2230,)(1XPxFXkxxxkxxfX）求（；的分布函数）求（）确定常数（其它具有概率密度设随机变量例其它解,043,2230,)(xxxkxxf611)()1(kdxxf得由0x344,143,22630,60,0)()2(3300xxdxxdxxxdxxxxFxx分布函数0x34xxxx,xFxftdtx4,143,42330,120,0)(22xxxxxxxxF即分布函数48411272713FFXP）（的分布函数为设连续型随机变量例X3xarctgxxF121的密度函数．试求X，则的密度函数为设解：xfXxxxFxf21111.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X～U(a,b))(xfab其它,0,1)(bxaabxf三、三种重要的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc1,),,(.1),,(~有为的区间对于长度若与c无关子区间的位置无关．的长度成正比，而与该取值的概率与该子区间上的任意一个子区间上，在区间则随机变量上的均匀分布，，区间服从如果随机变量baXbaXXabll0Xx公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；bxbxaabaxaxxXPxFX1,,0)(.2的分布函数为：例2某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位其它,0300,301)(xxf为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，{1015}{2530}PXPX有实根的概率．试求方程上的均匀分布，，服从区间设随机变量例02446362xx的密度函数为解：随机变量其它06391xxf有实根方程设：02442xxA024442PAP则32949291916213dxdx021P返回目录21或P则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.若r.vX具有概率密度常简记为X~E().2指数分布其它,00,1)(/xexXPxFx若X服从参数为的指数分布,则其分布函数为θ事实上,xFxftdt0xxxxFxftdt0xdt0x当时,0x当时,xFxftdt00dt01txθedtθ,0stPXstXsPXt对于任意有：PXstXsPXstXsPXsPXstPXs注意1）无记忆性；sttseeePXt11FstFs2）电子元件的使用寿命和各种随机系统的服务时间在一般情形认为其服从指数分布；3）指数分布在可靠性理论和排队论的应用比较广泛。3.正态分布若连续型r.vX的概率密度为xexfx,21)(222)(记作其中和(0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.σ),(~2NX:具有下述性质xf;12dxxf;01xf曲线关于轴对称；fx3PμhXμPμXμh0h函数在上单调增加,在上4单调减少,在取得最大值；22()23,2xμσμxfxexπσx=μσ为f(x)的两个拐点的横坐标；522()2223(),2xμσxμσfxexπσfx,,x当x→∞时，f(x)→0.xexfx,21)(222)(f(x)以x轴为渐近线6根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.正态分布的图形特点),(2N正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.称为位置参数决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点),(2N设X~,),(2NX的分布函数是正态分布的分布函数),(2N222()21,2tμxσFxedtxπσdtexxt2221)(4标准正态分布1,0的正态分布称为标准正态分布.xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用和表示：)(x)(x)(x)(x的性质:;2101dtet02221021212122dtet;1,2xxRxdtexxt2221事实上,221()2txxedtxπ22112uxeduπx12212uxuteduπ它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.定理1)1,0(~),,(~2NXZNX则若.1,0~,,~2NXZNX则若证Z的分布函数为dtexXPxXPxZPxt22221,tu令则有duexZPxu2221x.1,0~NXZ故xxXPxXPxFNXX2,~于是书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当x0时,表中给的是x0时,Φ(x)的值.4),,(~2NX若XY~N(0,1)若X～N(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.997453准则将上述结论推广到一般的正态分布,),(~2NY时，6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP可以认为，Y的取值几乎全部集中在]3,3[区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.标准正态分布的上分位点~0,1,XN设若数满足条件αz,01αPXzαα则称点为αz标准正态分布的上分位点.α)(xαzαz11αPXzα1αPXzα6α)(zXPzz1．⑶；⑵；试求：⑴，，设随机变量例0625192~9XPXPXPNX)()(32132531113111629300841340..470640.51XP解：⑴)1()5(FF6261XP841