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高考大题增分专项一高考中的函数与导数从近五年的高考试题来看,高考对函数与导数的考查,已经从直接利用导数的正负讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利用求导的方法证明不等式,探求参数的取值范围,解决函数的零点、方程根的问题,以及在某不等式成立的条件下,求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值问题.-2-题型一题型二题型三策略一策略二策略三题型一利用求导的方法证明函数不等式突破策略一差函数法证明函数不等式f(x)g(x),可证明f(x)-g(x)0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)为f(x)-g(x)表达式的某一部分,利用导数证明h(x)min0;如果h(x)没有最小值,那么可利用导数确定出h(x)的单调性,例如h'(x)0,则h(x)在(a,b)内是增函数,同时若h(a)≥0,则当x∈(a,b)时,有h(x)0,即f(x)g(x).-3-题型一题型二题型三策略一策略二策略三例1设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(3)设c1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)xcx.解(1)(导数与函数的单调性)令f'(x)=0解得x=1.当0x1时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x1时,f'(x)0,f(x)单调递减.(2)证明当x∈(1,+∞)时,1𝑥-1ln𝑥x;由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1𝑥-1,-4-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(2)证明由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,lnxx-1.故当x∈(1,+∞)时,lnxx-1,ln1𝑥1𝑥-1,即1𝑥-1ln𝑥x.(3)证明由题设c1,(构造函数)设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxlnc,令g'(x)=0,解得x0=ln𝑐-1ln𝑐ln𝑐.当xx0时,g'(x)0,g(x)单调递增;当xx0时,g'(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1𝑐-1ln𝑐c,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故当0x1时,g(x)0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)xcx.-5-题型一题型二题型三策略一策略二策略三对点训练1已知函数f(x)=ax+lnx,函数g(x)的导函数g'(x)=ex,且g(0)g'(1)=e,其中e为自然对数的底数.(1)若∃x∈(0,+∞),使得不等式成立,试求实数m的取值范围;(2)当a=0时,对于∀x∈(0,+∞),求证:f(x)g(x)-2.g(x)𝑥-𝑚+3𝑥-6-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(1)解:因为函数g(x)的导函数g'(x)=ex,所以g(x)=ex+c(c为常数).因为g(0)g'(1)=e,所以(1+c)e=e,可得c=0,即g(x)=ex.因为∃x∈(0,+∞),使得不等式g(x)成立,所以∃x∈(0,+∞),𝑥-𝑚+3𝑥使得mx-ex𝑥+3成立.令h(x)=x-ex𝑥+3,则问题可转化为mh(x)max.由h(x)=x-ex𝑥+3,x∈(0,+∞),可得h'(x)=1-ex𝑥+12𝑥,x∈(0,+∞).当x∈(0,+∞)时,因为ex1,𝑥+12𝑥≥2𝑥·12𝑥=2当且仅当𝑥=12时等号成立,所以ex𝑥+12𝑥1,所以h'(x)0,所以h(x)在(0,+∞)上为减函数,所以h(x)h(0)=3,所以m3.-7-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(2)证明当a=0时,f(x)=lnx,令φ(x)=g(x)-f(x)-2,即φ(x)=ex-lnx-2,则φ'(x)=ex-1𝑥,且φ'(x)在(0,+∞)内为增函数.设φ'(x)=0的根为x=t,则et=1𝑡,即t=e-t.因为当x∈(0,t)时,φ'(x)0,φ(x)在(0,t)内为减函数;当x∈[t,+∞)时,φ'(x)0,φ(x)在[t,+∞)内为增函数,故φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2.因为φ'(1)=e-10,φ'12=e-20,所以t∈12,1.因为φ(t)=et+t-2在t∈12,1内为增函数,所以φ(x)min=φ(t)=et+t-2e12+12-22.25+12-2=0,所以f(x)g(x)-2.-8-题型一题型二题型三策略一策略二策略三突破策略二求最值法求最值法证明函数不等式,一般依据表达式的组成及结构有两种不同的证明方法:(1)要证明f(x)≥h(x),可令φ(x)=f(x)-h(x),只需证明φ(x)min≥0.(2)要证明f(x)≥h(x),可明f(x)min≥h(x)max;要明f(x)m,可将该不等式转化为g(x)h(x)的形式,再证明g(x)minh(x)max.-9-题型一题型二题型三策略一策略二策略三例2已知函数f(x)=ln𝑥𝑥-1.(1)求函数f(x)在区间[1,e2]上的最值;(2)证明:对任意n∈N+,不等式ln𝑛+1𝑛e𝑛+1𝑛都成立(其中e为自然对数的底数).(1)解∵f(x)=ln𝑥𝑥-1,∴f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.当x∈[1,e)时,f'(x)0;当x∈(e,e2]时,f'(x)0.故f(x)在[1,e)内单调递增,在(e,e2]上单调递减.又f(1)=0-1=-1,f(e)=1e-10,f(e2)=2e2-11e-1,故函数f(x)在区间[1,e2]上的最小值为-1,最大值为1e-1.-10-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(2)证明由(1)知,令F(x)=ln𝑥𝑥,则F(x)=ln𝑥𝑥在[1,e)内单调递增,在(e,e2]上单调递减,故F(x)1e(1≤x≤e2),即ln𝑥𝑥1e(1≤x≤e2),即elnxx.令x=𝑛+1𝑛,得eln𝑛+1𝑛𝑛+1𝑛.故对任意n∈N+,不等式ln𝑛+1𝑛e𝑛+1𝑛都成立(其中e为自然对数的底数).-11-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(1)解:当a=1时,f(x)=e2x-4ex-2x,f'(x)=2e2x-4ex-2,令f'(x)0,得xln(1+2),∴f(x)的递增区间为(ln(1+2),+∞).(2)解:∵f(x)在R上单调递增,∴f'(x)=2e2x-4aex-2a≥0在R上恒成立,∴a≤e2𝑥2e𝑥+1=12e-𝑥+e-2𝑥=1(e-𝑥+1)2-1在R上恒成立.∵e-x0,∴1(e-𝑥+1)2-10,∴a≤0.对点训练2(2017河北武邑中学一模)已知函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,a∈R.(1)若a=1,求f(x)的递增区间;(2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;(3)记F(x)=f(x)+g(x),求证:F(x)≥4(1-ln2)25.-12-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(3)证明:∵F(x)=e2x-4aex-2ax+x2+5a2=5a2-(4ex+2x)a+x2+e2x=5𝑎-2e𝑥+𝑥52+e2𝑥-4𝑥e𝑥+4𝑥25≥e2𝑥-4𝑥e𝑥+4𝑥25=(e𝑥-2𝑥)25,设h(x)=ex-2x,则h'(x)=ex-2,令h'(x)0,得xln2,则h(x)在(-∞,ln2)单调递减;令h'(x)0,得xln2,则h(x)在(ln2,+∞)单调递增.∴h(x)min=h(ln2)=2-2ln20,∴F(x)≥(e𝑥-2𝑥)25≥(2-2ln2)25=4(1-ln2)25.-13-题型一题型二题型三策略一策略二策略三突破策略三求导函数零点法若使用策略一或策略二解答时,遇到令f'(x)=0,但无法解出导函数的零点x0时,可利用函数零点存在性定理,试出导函数在区间(a,b)内的零点x0,再判断导函数在区间(a,x0),(x0,b)的正负情况,从而判断f(x)在x0处取得最值,求出最值并通过对最值的处理消去x0使问题得到解决.-14-题型一题型二题型三策略一策略二策略三例3设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明:当a0时,f(x)≥2a+aln2𝑎.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x-𝑎𝑥(x0).当a≤0时,f'(x)0,f'(x)没有零点,当a0时,因为y=e2x在(0,+∞)内单调递增,y=-𝑎𝑥在(0,+∞)内单调递增,所以f'(x)在(0,+∞)内单调递增.又f'(a)0,当b满足0b𝑎4且b14时,f'(b)0,故当a0时,f'(x)存在唯一零点.-15-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(2)证明由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)0.故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).因为2e2𝑥0−𝑎𝑥0=0,所以f(x0)=𝑎2𝑥0+2ax0+aln2𝑎≥2a+aln2𝑎.故当a0时,f(x)≥2a+aln2𝑎.-16-题型一题型二题型三策略一策略二策略三对点训练3设函数f(x)=ax-2-lnx(a∈R).(1)若f(x)在点(e,f(e))处的切线为x-ey+b=0,求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若g(x)=ax-ex,求证:当x0时,f(x)g(x).(1)解∵f(x)=ax-2-lnx(a∈R),∴f'(x)=a-1𝑥=𝑎𝑥-1𝑥,又f(x)在点(e,f(e))处的切线的斜率为1e,∴f'(e)=𝑎e-1e=1e,∴a=2e,∴切点为(e,-1),将切点代入切线方程得b=-2e.-17-题型一题型二题型三策略一策略二策略三(2)解由(1)知f'(x)=a-1𝑥=𝑎𝑥-1𝑥(x0),当a≤0时,f'(x)0在(0,+∞)内恒成立,∴f(x)在(0,+∞)内是减函数,当a0时,令f'(x)=0得x=1𝑎,当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:0,1a1a1a,+∞f'(x)-0+f(x)↘↗-18-题型一题型二题型三策略一策略二策略三由表可知f(x)在0,1𝑎内单调递减,在1𝑎,+∞内单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当a0时,f(x)的单调递减区间为0,1𝑎,单调递增区间为1𝑎,+∞.(3)证明当x0时,要证f(x)g(x),即证f(x)-ax+ex0,即证ex-lnx-20,令h(x)=ex-lnx-2(x0),只需证h(x)0,∵h'(x)=ex-1𝑥,-19-题型一题型二题型三策略一策略二策略三由指数函数及幂函数的性质知h'(x)=ex-1𝑥在(0,+∞)内是增函数.又h'(1)=e-10,h'13=e13-30,∴h'(1)·h'130,h'(x)在13,1内存在唯一的零点,也即h'(x)在(0,+∞)内有唯一零点,设h'(x)的零点为t,则h'(t)=et-1𝑡=0,即et=1𝑡13𝑡1,由h'(x)的单调性知,当x∈(0,t)时,h'(x)h'(t)=0,h(x)为减函数;当x∈(t,+∞)时,h'(x)h'(t)=0,h(x)为增函数,∴当x0时,h(x)≥h(t)=et-lnt-2=1𝑡-ln1e𝑡-2=1𝑡+t-2≥2-2=0,又13t1,∴等号不成立,∴h(x)0.-20-题型一题型二题型三策略一策略二策略三题型二有限制条件的求参数取值范围问题突破策略一分离参数法已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围,一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解.即f(x)≥g(k)⇔[f(x)]min≥g