多元函数的极值及其求法

第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00yxyx，如果总有),(),(00yxfyxf，则称函数),(yxfz在点),(00yx处有极大值；如果总有),(),(00yxfyxf，则称函数),(yxfz在点),(00yx有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．例1．函数xyz在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例2．函数2243yxz在点)0,0(处有极小值．因为对任何),(yx有0)0,0(),(fyxf．从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0z，从而得到函数取得极值的必要条件．定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00yxfx，0),(00yxfy．几何解释若函数),(yxfz在点),(00yx取得极值0z，那么函数所表示的曲面在点),,(000zyx处的切平面方程为))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx是平行于xoy坐标面的平面0zz．类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz说明上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组0),(0),(0000yxfyxfyx，求得解),(),(),,(2211nnyxyxyx，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(yxfz的驻点．注意1．驻点不一定是极值点，如xyz在)0,0(点．怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题．定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx，0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则（1）当02BAC时，函数),(yxfz在点),(00yx取得极值，且当0A时，有极大值00(,)fxy，当0A时，有极小值00(,)fxy；（2）当02BAC时，函数),(yxfz在点),(00yx没有极值；（3）当02BAC时，函数),(yxfz在点),(00yx可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论．求函数),(yxfz极值的步骤：（1）解方程组0),(00yxfx，0),(00yxfy，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(),(),,(2211nnyxyxyx；（2）对于每一个驻点),(iiyx(1,2,)in，求出二阶偏导数的值CBA,,；（3）确定2BAC的符号，按定理2的结论判定),(iiyxf是否是极值，是极大值还是极小值；（4）考察函数),(yxf是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点．例3．考察22yxz是否有极值．解因为22yxxxz，22yxyyz在0,0yx处导数不存在，但是对所有的)0,0(),(yx，均有0)0,0(),(fyxf，所以函数在)0,0(点取得极大值．注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？例4．求函数xyxyxyxf933),(2233的极值．解先解方程组063096322yyfxxfyx，求得驻点为)2,3(),0,3(),2,1(),0,1(，再求出二阶偏导函数66xfxx，0xyf，66yfyy．在点)0,1(处，0726122BAC，又0A，所以函数在点)0,1(处有极小值为5)0,1(f；在点)2,1(处，0722BAC，所以)2,1(f不是极值；在点)0,3(处，0722BAC，所以)0,3(f不是极值；在点)2,3(处，0722BAC，又0A，所以函数在点)2,3(处有极大值为31)2,3(f．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴将函数),(yxf在区域D内的全部极值点求出；⑵求出),(yxf在D边界上的最值；即分别求一元函数1(,())fxx，2(,())fxx的最值；⑶将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值．实际问题求最值根据问题的性质，知道函数),(yxf的最值一定在区域D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(yxf在D上的最值．例4．求把一个正数a分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解设yx,分别为前两个正数，第三个正数为yxa，问题为求函数)(yxaxyu在区域D：0x，0y，ayx内的最大值．因为)2()(yxayxyyxayxu，)2(xyaxyu，解方程组0202xyayxa，得3ax，3ay．由实际问题可知，函数必在D内取得最大值，而在区域D内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把a分成三等份，乘积3)3(a最大．另外还可得出，若令yxaz，则33)3()3(zyxaxyzu即33zyxxyz．三个数的几何平均值不大于算术平均值．三．条件极值，拉格朗日乘数法引例求函数22yxz的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在)0,0(取得极小值；若求函数22yxz在条件1yx下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分1yx的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值．如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出xy1，代入22yxz中，得122)1(222xxxxz成为一元函数极值问题，令024xzx，得21x，求出极值为21)21,21(z．但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数取得极值的必要条件．求函数),(yxfz在条件0),(yx下取得极值的必要条件．若函数),(yxfz在00(,)xy取得所求的极值，那么首先有00(,)0xy．假定在00(,)xy的某一邻域内函数),(yxfz与均有连续的一阶偏导数，且00(,)0yxy．有隐函数存在定理可知，方程0),(yx确定一个单值可导且具有连续导数的函数()yx，将其代入函数),(yxfz中，得到一个变量的函数(,())zfxx于是函数),(yxfz在00(,)xy取得所求的极值，也就是相当于一元函数(,())zfxx在0xx取得极值．由一元函数取得极值的必要条件知道000000(,)(,)0xyxxxxdzdyfxyfxydxdx，而方程0),(yx所确定的隐函数的导数为00000(,)(,)xxxyxydydxxy．将上式代入00000(,)(,)0xyxxdyfxyfxydx中，得00000000(,)(,)(,)0(,)xxyyxyfxyfxyxy，因此函数),(yxfz在条件0),(yx下取得极值的必要条件为0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0xxyyxyfxyfxyxyxy．为了计算方便起见，我们令0000(,)(,)yyfxyxy，则上述必要条件变为0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0xxyyfxyxyfxyxyxy，容易看出，上式中的前两式的左端正是函数),(),(),(yxyxfyxF的两个一阶偏导数在00(,)xy的值，其中是一个待定常数．拉格朗日乘数法求函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能的极值点．⑴构成辅助函数),(),(),(yxyxfyxF，（为常数）⑵求函数F对x，对y的偏导数，并使之为零，解方程组0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx得,,yx，其中yx,就是函数在条件0),(yx下的可能极值点的坐标；⑶如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定．拉格朗日乘数法推广求函数),,,(tzyxfu在条件(,,,)0xyzt，(,,,)0xyzt下的可能的极值点．构成辅助函数12(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)Fxyztfxyztxyztxyzt其中21,为常数，求函数F对zyx,,的偏导数，并使之为零，解方程组121212120000(,,,)0(,,,)0xxxyyyzzztttffffxyztxyzt得zyx,,就是函数),,,(tzyxfu在条件(,,,)0xyzt，(,,,)0xyzt下的极值点．注意：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出,,xyz之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点．例6.求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积．解设长方体的三棱长分别为zyx,,，则问题是在条件0222),,(2axzyzxyzyx下，求函数xyzv)0,0,0(zyx的最大值．构成辅助函数)222(),,(2axzyzxyxyzzyxF，求函数F对zyx,,偏导数，使其为0，得到方程组02220)(20)(20)(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz)4()3()2()1(由)1()2(，得zyzxyx，由)2()3(，得zxyxzy，即有，()(),xyzyxzxy，()(),yxzzxyyz，可得zyx，将其代入方程02222axzyzxy中，得azyx66．这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得，即在表面积为2a的长方体中，以棱长为a66的正方体的体积为最大，最大体积为3366av．例7．试在球面2224xyz上求出与点(3,1,1)距离最近和最远的点．解设(,,)Mxyz为球面上任意一点，则到点(3,1,1)距离为222(3)(1)(1)dxyz但是，如果考虑2d，则应与d有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取2222(,,)(3)(1)(1)fxyzdxyz，又因为点(,,)Mxyz在球面上，附加条件为222(,,)40xyzxyz．构成辅助函数(,,)Fxyz222(3)(1)(1)xyz222(4)xyz．求函数F对zyx,,偏导数，使其为0，得到方程组2222(3)202(1)202(1)204xxyyzzxyz)4()3()2()1(从前三个方程中可以看出,,xyz均不等于零（否则方程两端不等），以作为