高等代数-第9章矩阵的标准型-9.5-矩阵的最小多项式

§7.9最小多项式由哈密尔顿―凯莱定理，,()||nnAPfEA是A的特征多项式，则()0.fA因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个nnAP多项式使()[],fxPx()0.fA多项式以A为根.()fx引入本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称§7.9最小多项式一、最小多项式的定义定义：设在数域P上的以A为根的多项,nnAP为A的最小多项式.式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称§7.9最小多项式二、最小多项式的基本性质1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的.证：设都是A的最小多项式.12(),()gxgx由带余除法，可表成1()gx12()()()()gxqxgxrx其中或()0rx2(())(()).rxgx于是有§7.9最小多项式由最小多项式的定义，()0,rx即，21()().gxgx同理可得，12()().gxgx12()(),0gxcgxc12()()()()0gAqAgArA()0rA又都是首1多项式,12(),()gxgx1c故12()().gxgx§7.9最小多项式2.（引理2）设是矩阵A的最小多项式，则()gx()fx以A为根()().gxfx证：充分性显然，只证必要性由带余除法，可表成()fx()()()(),fxqxgxrx其中或()0rx(())(()).rxgx于是有()()()()0fAqAgArA()0rA§7.9最小多项式由最小多项式的定义，()0.rx()().gxfx由此可知：若是A的最小多项式，则整除任何一()gx()gx个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式.即3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子.§7.9最小多项式例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式;xk特别地，单位矩阵的最小多项式是；1x零矩阵的最小多项式是.x反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵.例2、求的最小多项式.110010001A§7.9最小多项式解：A的特征多项式为3110()||010(1)001xfxxEAxxx又0,AE22()2AEAAE1202201000100200100001002001∴A的最小多项式为2(1).x§7.9最小多项式4.相似矩阵具有相同的最小多项式.证：设矩阵A与B相似，分别为它们的(),()ABgxgx最小多项式.由A相似于B，存在可逆矩阵T,使1.BTAT从而11()()()0AAAgBgTATTgAT()Agx也以B为根，同理可得()().ABgxgx()().BAgxgx从而又都是首1多项式，(),()ABgxgx()().ABgxgx§7.9最小多项式反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：1100110001000100,0010002000020002AB的最小多项式皆为但A与B不相似.2(1)(2),xx注：3||(1)(2),EAxx22||(1)(2)EBxx||||.EAEB即所以，A与B不相似.§7.9最小多项式5.（引理3）设A是一个准对角矩阵1200AAA并设的最小多项式分别为.12(),()gxgx12,AA则A的最小多项式为的最小公倍式.12(),()gxgx证：记12()[(),()]gxgxgx首先，12()0()00()gAgAgA即A为的根.()gx§7.9最小多项式所以被A的最小多项式整除.()gx则12()0()00()hAhAhA从而12()0,()0.hAhA()0,hA其次，如果12()(),()().gxhxgxhx从而()().gxhx故为A的最小多项式.()gx§7.9最小多项式若A是一个准对角矩阵12sAAA且的最小多项式为iA(),1,2,...,igxis则A的最小多项式是为12[(),(),...,()].sgxgxgx推广：特别地，若两两互素，即12(),(),...,()sgxgxgx12(),(),...,()1sgxgxgx则A的最小多项式是为12()()...().sgxgxgx§7.9最小多项式6.（引理4）级若当块k111aaJa的最小多项式为().kxa证：J的特征多项式为()kxa()0.kJaE§7.9最小多项式而010100,10JaE2000100()0,100JaE10()0.0100kJaEJ的最小多项式为().kxa§7.9最小多项式6.（定理13）与对角矩阵相似nnAPA的最小多项式是P上互素的一次因式的积.证：由引理3的推广，必要性显然.只证充分性.根据矩阵与线性变换之间的对应关系，设V上线性变换在某一组基下的矩阵为A，则()()0.gV(),gx则的最小多项式与A的最小多项式相同,设为§7.9最小多项式若为P上互素的一次因式的乘积：()gx12()()()...()sgxxaxaxa则12...,SVVVV其中{|,()()0}.iiVVaE（此结论的证明步骤同定理12）把各自的基合起来就是V的一组基.12,,,SVVV从而A相似于对角矩阵.特征向量.所以,在这组基下的矩阵为对角矩阵.在这组基中，每个向量都属于某个，即是的iV§7.9最小多项式8.与对角矩阵相似nnACA的最小多项式没有重根.练习：求矩阵的最小多项式.111111111A§7.9最小多项式111111()||111xxfxEAEx1()nxnx又20,0,0AAnEAA的最小多项式为().xxn解：的特征多项式而()0.AAnE