理科2012年上海市嘉定区黄浦区高三年级二模数学(含答案)

2012年上海各区高三数学二模真题系列卷——嘉定区、黄浦区数学（理科）嘉定&黄浦2012二模数学理科试卷第1页2012年上海市嘉定区、黄浦区高三年级二模试卷——数学（理科）2012年4月一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数12()log(21)fxx的定义域为．2．若双曲线221xym的一个焦点为F(2,0)，则实数m．3．若2x≤≤，则方程2sin10x的解x．4．已知幂函数()yfx存在反函数，若其反函数的图像经过点1(,9)3，则该幂函数的解析式()fx．5．一盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数的概率分布律如下表：x1234()Px71073071201120那么抽取次数的数学期望E．6．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为0.9、0.85，则两台机床都不需要维护的概率为．7．已知zC，z为z的共轭复数，若100110i0zzz（i是虚数单位），则z．8．已知、0,2，若5cos()13，4sin()5，则cos2．9．如图，已知圆柱的轴截面11ABBA是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，1C是圆柱上底面弧11AB的中点，那么异面直线1AC与BC所成角的正切值为．10．若过圆C：15cos,15sin,xy（02≤）上一点(1,0)P作该圆的切线l，则切线l的方程为．11．若(12)nx（*nN）二项展开式中的各项系数和为na，其二项式系数和为nb，则nnnnnbaab11lim．12．设集合{1,}Px，{1,2,}Qy，其中,{1,2,3,4,5,6,7,8,9}xy，且PQ．若将满足上述条件的每一个有序整数对(,)xy看作一个点，则这样的点的个数为．13．已知函数2()|2|fxxaxa（xR），给出下列四个命题：①当且仅当0a时，()fx是偶函数；②函数()fx一定存在零点；③函数在区间(,]a上单调递减；④当01a时，函数()fx的最小值为2aa．那么所有真命题的序号是．14．已知△FAB，点F的坐标为(1,0)，点A、B分别在图中抛物线24yx及圆22(1)4xy的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围为．ACB1A1C1B第9题xyFABO第14题2012年上海各区高三数学二模真题系列卷——嘉定区、黄浦区数学（理科）嘉定&黄浦2012二模数学理科试卷第2页二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．已知空间三条直线a、b、m及平面，且a、b．条件甲：ma，mb；条件乙：m，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的………………………………………（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件16．已知a、0b，则下列不等式中不一定成立的是……………………………………（）A．2abba≥B．11()()4abab≥C．2ababab≥D．122abab≥17．已知△ABC的三边分别是abc、、，且abc≤≤（*abcN、、），若当bn（*nN）时，记满足条件的所有三角形的个数为na，则数列{}na的通项公式…………………（）A．21nanB．(1)2nnnaC．21nanD．nan18．已知O、A、B、C是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1、2、3，使得1230OAOBOC，则三个角AOB、BOC、COA………………………（）A．都是钝角B．至少有两个钝角C．恰有两个钝角D．至多有两个钝角三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ABAC，4ABAC，5AP．（1）求二面角PBCA的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）把△PAB（及其内部）绕PA所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积V．ABCP2012年上海各区高三数学二模真题系列卷——嘉定区、黄浦区数学（理科）嘉定&黄浦2012二模数学理科试卷第3页20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数22()23sincoscossin1fxxxxx（xR）（1）求函数()yfx的单调递增区间；（2）若5[,]123x，求()fx的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用na（*nN）表示A型车床在第n年创造的价值．（1）求数列{}na（*nN）的通项公式na；（2）记nS为数列{}na的前n项和，nnSTn．企业经过成本核算，若100nT万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{}nb是单调递减数列，则数列12nbbbn也是单调递减数列）．2012年上海各区高三数学二模真题系列卷——嘉定区、黄浦区数学（理科）嘉定&黄浦2012二模数学理科试卷第4页22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知定点(2,0)F，直线:2lx，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且FQPFPQ（）．设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F的直线1l与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：111||||2AFBF；（3）记OA与OB的夹角为（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cos的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．对*nN，定义函数2()()nfxxnn，1nxn≤≤．（1）求证：()nyfx图像的右端点与1()nyfx图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．（2）若直线nykx与函数2()()nfxxnn，1nxn≤≤（2n≥，*nN）的图像有且仅有一个公共点，试将nk表示成n的函数．（3）对*nN，2n≥，在区间[0,]n上定义函数()yfx，使得当1mxm≤≤（*mN，且1m，2，…，n）时，()()mfxfx．试研究关于x的方程()nfxkx（0xn≤≤，*nN）的实数解的个数（这里的nk是（2）中的nk），并证明你的结论．2012年上海各区高三数学二模真题系列卷——嘉定区、黄浦区数学（理科）嘉定&黄浦2012二模数学理科试卷第5页2012年嘉定区、黄浦区高三年级二模数学试卷(理科)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．1(,)22．33．64．12x5．1186．0.0157．0或i8．63659．210．220xy11．1312．1413．①④14．(4,6)二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．A16．C17．B18．B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．[解]（1）解法一：设BC的中点D，联结AD，PD，易知在等腰三角形PBC、ABC中，PDBC，ADBC，故PDA为二面角PBCA的平面角．（2分）在等腰Rt△ABC中，由4ABAC及ABAC，得22AD．由PA平面ABC，得PAAD．在Rt△PAD中，52tan4PAPDAAD．（6分）故二面角PBCA的大小为52arctan4．（8分）解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标(0,0,0)A，(4,0,0)B，(0,4,0)C，(0,0,5)P．于是(4,0,5)PB，(4,4,0)BC．（2分）由PA平面ABC，得平面ABC的一个法向量1(0,0,1)n．设2(,,)nuvw是平面PBC的一个法向量．因为2nPB，2nBC，所以20nPB，20nBC，即450uw，440uv，解得45wu，vu，ABCPxyzD2012年上海各区高三数学二模真题系列卷——嘉定区、黄浦区数学（理科）嘉定&黄浦2012二模数学理科试卷第6页取5u，得2(5,5,4)n．（4分）设1n与2n的夹角为，则1212266cos33nnnn．（6分）结合图可判别二面角PBCA是个锐角，它的大小为266arccos33．（8分）（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．该圆锥的体积21805433V．（12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．[解]（1）由题设()3sin2cos212sin(2)16fxxxx，（2分）由222262kxk≤≤，解得36kxk≤≤，故函数()yfx的单调递增区间为,36kk（kZ）．（6分）（2）由5123x≤≤，可得22366x≤≤．（7分）考察函数sinyx，易知1sin(2)16x-≤≤，（10分）于是32sin(2)116x-≤≤．故()yfx的取值范围为[3,1]．（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．[解]（1）由题设，知1a，2a，…，6a构成首项1250a=，公差30d的等差数列．故28030nan（6n≤，*nN）（万元）．（3分）7a，8a，…，na（7n≥，*nN）构成首项761502aa==，公比12q=的等比数列．故71502nna（7n≥，*nN）（万元）．（6分）于是，728030,16150,72nnnnan≤≤≥（*nN）（万元）．（7分）（2）由（1）知，{}na是单调递减数列，于是，数列{}nT也是单调递减数列．当16n≤≤时，26515nnSTnn，{}nT单调递减，6175100T（万元）．所以100nT（万元）．当7n≥时，66110010501001115022nnnnSTnnn，（9分）当11n时，11104T（万元）；当12n=时，1296T（万元）．（13分）所以，当12n≥，*nN时，恒有96nT．故该企业需要在第11年年初更换A型车床．（14分）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．[解]（1）设点P