高二数学双曲线试题(有答案)

高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线2210xymnmn的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625xy的焦点重合，则m的值为（）A．B．C．D．【答案】A2．以112422yx的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A．1121622yxB．1161222yxC．141622yxD．116422yx【答案】A3．设12FF、分别是双曲线2213yx的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且123||4||PFPF，则12PFF的面积等于（）（A）45（B）315（C）53（D）210【答案】B4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），点P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．解：设双曲线的方程为：﹣=1，∵两焦点F1（﹣，0），F2（，0），且•=0，∴⊥，∴△F1PF2为直角三角形，∠P为直角；∴+===28；①又点P是此双曲线上的一点，∴||PF1|﹣|PF2||=2a，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，故选C．5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kFN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D7.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1故选A．8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴则不妨设A（﹣2，），F（2，0）∵△FAB是等腰直角三角形，∴=4，解得：a=，b=4∴c2=a2+b2=2+16=20，∴双曲线的标准方程是故选C9..已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心学率为32.双曲线221xy的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（A）22182xy（B）221126xy（C）221164xy（D）221205xy【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23ace，2243ac，222243baac，所以2241ab，即224ba，双曲线的渐近线为xy，代入椭圆得12222bxax，即1454222222bxbxbx，所以bxbx52,5422，2254by，by52，则第一象限的交点坐标为)52,52(bb，所以四边形的面积为16516525242bbb，所以52b，所以椭圆方程为152022yx，选D.10.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，∴离心率，故选B．11.设双曲线的﹣个焦点为F；虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）12．已知双曲线221124xy的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(C)A.33(,)33B.(3,3)C.33[,]33D.[3,3]【答案】C13.如图，F1,F2分别是双曲线C：22221xyab（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A.233B。62C.2D.3【答案】B【解析】由题意知直线BF1的方程为：bxcby，联立方程组0,byaxbxcby得点Q),(acbcacac，联立方程组0,byaxbxcby得点P),(acbcacac，所以PQ的中点坐标为),(222bcbca，所以PQ的垂直平分线方程为：)(222bcaxbcbcy，令0y，得)1(22bacx，所以cbac3)1(22，所以2222222acba，即2223ca，所以26e。故选B14.过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．D．解：过双曲线的右顶点A（1，0）作斜率为1的直线l：y=x﹣1，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组代入消元得（b2﹣1）x2+2x﹣1=0，∴，∴x1+x2=2x1x2，又|AB|=|BC|，则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴b2=9，双曲线M的离心率e=，故选A．二：填空题15．以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是．解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（﹣3，0）和（3，0）．∴椭圆的焦点坐标是（0，﹣2）和（0，2），顶点为（﹣3，0）和（3，0）．∴椭圆方程为．故答案：．16.已知双曲线C：22xa-22yb=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为.【解析】设双曲线C：22xa-22yb=1的半焦距为c，则210,5cc.又C的渐近线为byxa，点P（2,1）在C的渐近线上，12ba，即2ab.又222cab，25,5ab，C的方程为220x-25y=1.17已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为．解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为．故答案为．18．已知双曲线C过点，一条渐近线方程为，双曲线C的标准方程为．解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为=λ（λ≠0），∵双曲线过点，∴=λ，即λ=﹣1．∴所求双曲线方程为故答案为：．19.若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为．解：∵抛物线y2=2bx的焦点F（，0），双曲线﹣=1（a＞b＞0）左、右焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），又线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，∴=，即=，∴c=2b；又c2=a2+b2=4b2，∴a2=3b2，∴此双曲线的离心率e2===，∴e==．故答案为：．20.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．解：由圆x2+y2﹣4x+2=0化为（x﹣2）2+y2=2，得到圆心（2，0），半径r=．∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0有交点，∴，化为b2≤a2．∴．∴该双曲线的离心率的取值范围是．故答案为．三：解答题21．已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.解：∵（1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd．故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk.设CDyxDyxC),,(),,(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=±7.22.已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．解：（Ⅰ）：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），将点（3，）代入上式，得．解得a2=18（舍去）或a2=2，故所求双曲线方程为．（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴∴k∈（﹣）∪（1，）．设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2=，于是，|EF|==而原点O到直线l的距离d=，∴S△OEF=．若S△OEF=，即，解得k=±，满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和．23.已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为，由∴b2=c2﹣a2=2﹣a2．由点在双曲线上，∴，∴离心率（Ⅱ）设所求的双曲线的方程为，则∵△OFP的面积为∵解得∵，当且仅当时等号成立．此时（舍）．则所求双曲线的方程为．24．如图,已知双曲线22221(00)xyabab，,其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,直线AB交PF于点D,且点D满足2ODOFOP(O为原点).(1)求双曲线的离心率;(2)若a=2,过点B的直线l交双曲线于M、N两点,问在y轴上是否存在定点C使CMCN为常数?若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)B(0,–b),A(2ac,0),F(c,0),P(c,2ba)∵2ODOFOP∴D为线段FP的中点,∴D为(c,22ba)∴22222ABADbbccakkaaacc,∴a=2b,∴22251()2cabbeaaa(2)a=2,则b=1,B(0,–1)双曲线的方程为2214xy①设M(x1,y1),N(x2,y2),C(0,m)由22221(14)88014lykxkxkxxy：由已知2222214011246432(14)0kkkkk且设12121212()()(1)(1)uCMCNxxymymxxkxmkxm221212(1)(1)()(1)kxxmkxx