数学思想与方法和高考

1数学思想与方法和高考（一）数形结合解高考题数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过以形助数，以数解形，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。一,有关根的个数问题：1已知，则方程的实根个数为01aaxxa|||log|()A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个2方程lgsinxx的实根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3函数yaxyxa||与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.()1，B.()11，C.(][)，，11D.()()，，1124若关于x的方程xxm245||有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为5若直线yxm与曲线yx12有两个不同的交点，则实数m的取值范围是6的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于kkkxxx310322二，有关斜率问题：6如果实数、满足，则的最大值为xyxyyx()()2322ABCD....12333237求函数的值域。yxxsincos223数学思想与方法和高考（二）函数方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点1在数列}{na中，151a，以后各项由321nnaa，求数列}{na的前n项和的最大值．解析：321nnaa，则可求出na，再利用00nnaa和求出临界项。2,2,51cossin，则tan解析：设51111202tan222xxxxxx则，解出2x，再用万能公式。3在ABC中，求证81coscoscosCBA解析：设CBABACBAKcoscoscos21coscoscos=CBACcoscoscos21整理得02coscoscos2KCBAC即看作关于Ccos的一元二次方程。481coscoscos811cos808cos22CBAkBAKKBA即即4某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四旁四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值．解析：设总造价为S元，AD长为x米，xxyxyxSxxyxyxyDQxAD40000040003800028042104200,4200,2004,2222米，5数学思想与方法和高考（三）数形结合解高考题三，比较大小问题8定义在R上的函数yfx()()在，2上为增函数，且函数yfx()2的图象的对称轴为x0，则（）A.ff()()13B.ff()()03C.ff()()13D.ff()()239若fxxbxc()2对任意实数t，都有ftft()()22，则ff()()13、、f()4由小到大依次为___________。四，最值问题：10函数yxxxx2222613的最小值为___________。12如果复数z满足，那么的最小值为（）（A）（B）（C）（D）五，恒成立问题：14若x()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则a的取值范围为2zizi1zi12256（）A.（0，1）B.（1，2）C.（1，2]D.[1，2]7数学思想与方法和高考（四）函数方程思想所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题.所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的.函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.函数与方程思想在高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多。函数思想是指用函数的概念、性质、图像去分析问题、转8化问题和解决问题,具体体现在:①运用函数的性质解决数学问题;②用映射、函数的观点去观察1．函数f(x)＝23x＋1＋a的零点为1，则实数a的值为()A．－2B．－12C.12D．2解析由已知得f(1)＝0，即231＋1＋a＝0，解得a＝－12.故选B.2．函数f(x)＝2x－x－2的一个零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析由f(0)＝20－0－20，f(1)＝2－1－20，f(2)＝22－2－20，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.3．(2014·北京卷)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)解析由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝60，f(2)＝3－1＝20，f(4)＝64－log24＝32－2＝－120，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．4．(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3}D．{－2－7，1,3}解析求出当x0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x0，则－x0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的9奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋70(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．5．已知函数f(x)＝kx＋2，x≤0lnx，x0(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是()A．k≤2B．－1k0C．－2≤k－1D．k≤－2解析由y＝|f(x)|＋k＝0得|f(x)|＝－k≥0，所以k≤0，作出函数y＝|f(x)|的图象，要使y＝－k与函数y＝|f(x)|有三个交点，则有－k≥2，即k≤－2，选D.6．x0是函数f(x)＝2sinx－πlnx(x∈(0，π))的零点，x1x2，则①x0∈(1，e)；②x0∈(e，π)；③f(x1)－f(x2)0；④f(x1)－f(x2)0，其中正确的命题为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析因为f(1)＝2sin1－πln1＝2sin10，f(e)＝2sine－π0，所以x0∈(1，e)，即①正确．10f′(x)＝2cosx－πx，当x∈0，π2时，πx2，f′(x)0，当x＝π2时，f′(x)＝－20，当x∈π2，π时，1πx2，cosx0，f′(x)0.综上可知，f′(x)0，f(x)为减函数，f(x1)f(x2)，即f(x1)－f(x2)0，④正确．7．已知0a1，函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________．解析分别画出函数y＝ax(0a1)与y＝|logax|(0a1)的图象，如图所示，图象有两个交点．答案28．(2014·福建卷)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是________．解析分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x0时，f′(x)＝2＋1x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，f(2)·f(3)0，所以f(x)在(2,3)11内有一个零点．答案209．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝12|x|＋2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．解(1)g(x)＝12|x|＋2＝12|x|＋2，因为|x|≥0，所以012|x|≤1，即2g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3]．(2)由f(x)－g(x)＝0，得2x－12|x|－2＝0，当x≤0时，显然不满足方程，当x0时，由2x－12x－2＝0，整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，故2x＝1±2，因为2x0，所以2x＝1＋2，即x＝log2(1＋2)．10．设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－9x＋6，因为x∈R时，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，12故m的最大值为－34.(2)由(1)知，f′(x)＝3(x－1)(x－2)，当x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．解得a2或a52.∴实数a的取值范围是(－∞，2)∪52，＋∞