椭圆和双曲线练习题及答案

第1页共8页圆锥曲线测试题一、选择题（共12题，每题5分）1已知椭圆125222yax)5(a的两个焦点为1F、2F，且8||21FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长为（）（A）10（B）20（C）241（D）4142椭圆13610022yx上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P到它的右焦点的距离是（）（A）15（B）12（C）10（D）83椭圆192522yx的焦点1F、2F，P为椭圆上的一点，已知21PFPF，则△21PFF的面积为（）（A）9（B）12（C）10（D）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）（A）222yx（B）222xy（C）422yx或422xy（D）222yx或222xy5双曲线191622yx右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为（）（A）6（B）8（C）10（D）126过双曲线822yx的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）（A）28（B）2814（C）2814（D）287双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，12021MFF，则双曲线的离心率为（）（A）3（B）26（C）36（D）338在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为()第2页共8页(A)22(B)2(C)2(D)229如果椭圆193622yx的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）（A）02yx（B）042yx（C）01232yx（D）082yx10如果双曲线22142xy上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）(A)463(B)263(C)26(D)2311中心在原点，焦点在y轴的椭圆方程是22sincos1xy，(0,)2，则（）A．(0,)4B．(0,]4C．(,)42D．[,)4212已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA、65B、75C、58D、95二、填空题（20）13与椭圆22143xy具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是。第3页共8页14离心率35e，一条准线为3x的椭圆的标准方程是。15以知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为16已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（70）17)已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。18)已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.19)求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为338的双曲线方程。20．(1)椭圆C:12222byax(a＞b＞0)上的点A(1,23)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程;(2)设K是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在第4页共8页并记为kPM、kPN时，那么PNPMkk是与点P位置无关的定值。试对双曲线12222byax写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：(1)13422yx(2)设中点为(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在13422yx上134)2(22yx(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(xo,yo),xo≠x1则)1(22122axoby)1(221221axby2221202212022120212010101010)(abxxbxxyyxxyyxxyyPNPMaxxkk为定值。21(1)当k为何值时，直线l与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。(2)过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；（3）是否存在直线l，使Q（1，1）为l被双曲线所截弦的中点。若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有第5页共8页一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点.(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜23,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜23时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞23时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k不存在时，l与C只有一个交点；当2＜k＜23,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两个交点；当k＞23时，l与C没有交点.第6页共8页（2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=4∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB=2121xxyy=1但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB=2121xxyy=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，故假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.13)与椭圆22143xy具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是22186xy或223412525yx。14）离心率35e，一条准线为3x的椭圆的标准方程是第7页共8页2291520xy。17)已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。(8分)解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219xy.联立方程组22192xyyx,消去y得,21036270xx.设A(11,xy),B(22,xy),AB线段的中点为M(00,xy)则:12185xx,0x=12925xx所以0y=0x+2=15.也就是说线段AB中点坐标为(-95,15).18)已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.(10分)解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,从而c=4,a=2,b=23.所以求双曲线方程为:221412yx.20)求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为338的双曲线方程。(10分)解:设双曲线方程为x2-4y2=.联立方程组得:22x-4y=30xy,消去y得，3x2-24x+(36+)=0设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(11,xy),B(22,xy)，那么：第8页共8页1212283632412(36)0xxxx那么：|AB|=2221212368(12)83(1)[()4](11)(84)333kxxxx解得:=4,所以，所求双曲线方程是：2214xy