第一部分-有限差分时域法

电磁场计算机辅助分析北京交通大学电子信息工程学院课程介绍(1-1)电磁波在实际环境中的传播过程十分复杂。大多数电磁波传播问题(如复杂目标散射，复杂结构天线的辐射，复杂地形及海面对电磁波传播的影响)，由于边界条件的影响，很难通过偏微分或积分形式的麦克斯韦方程组得到电磁波的解析解。因此发展了一系列的数值方法来得到近似解。目前主要的数值解方法有矩量法(MoM)、有限元法(FEM)、边界元法(BEM)以及时域有限差分法(FDTD)等。本门课程主要介绍矩量法(MoM)、有限元法(FEM)、以及时域有限差分法(FDTD)的算法原理，以及电磁仿真软件HFSS（基于FEM）、FEKO（基于MoM）的基本应用。(1-1)要求同学们：•理解时域有限差分法(FDTD)算法原理，基于该算法利用计算机编程实现对简单电磁问题的求解;•理解有限元法(FEM)算法原理，能够利用该算法对简单电磁问题进行求解;•理解矩量法(MoM)算法原理，能够利用该算法对简单电磁问题进行求解;•掌握HFSS仿真软件的应用方法，能够利用该软件实现对简单天线的仿真分析;•掌握FEKO/NEC仿真软件的应用方法，能够利用该软件实现对简单天线的仿真分析。主要参考文献:[1]KaneS.Yee,NumericalsolutionofinitialboundaryvalueproblemsinvolvingMaxwell’sequationsinisotropicmedia,IEEETrans.onAntennasandPropagationVol.AP-14,No.3,302-307(1966).[2]王长清,祝西里.电磁场计算中的时域有限差分法.北京:北京大学出版社.1994.[3]葛德彪,闫玉波.电磁波时域有限差分方法.西安电子科技大学出版社,2011.[4]金建铭（美）.王建国译.电磁场有限元方法.西安电子科技大学出版社.1998.[5]哈林登(美).计算电磁场的矩量法。国防工业出版社.1981.[6]何国瑜,卢才成,洪家才,邓晖.电磁散射的计算和测量.北京航空航天大学出版社.2006.[7]A.Taflove,M.E.Brodwin,Numericalsolutionofsteady-stateelectromagneticscatteringproblemsusingthetime-dependentMaxwell'sequations,IEEETrans.onMicrowaveTheoryTech.,MTT-23,pp623-630,Aug.1975.[8]R.C.Booton,ComputationalMethodsforElectromagneticsandMicrowaves,Wiley,1992..答疑地点：9教学楼南318；时间：每周五下午联系方式：[e-mail];13811292566考核方式：平时考勤、作业、期末考试成绩期末成绩计算方法：平时考勤10%+作业20%+期末考试成绩70%期末考试时间：暂定第16周周三第二节（即本门课最后一堂课）。数值方法的发展历史(1-1)•1943年柯朗（Courant）首次提出有限元法(FEM),用于近似求解数理边值问题。20世纪50年代应用于飞机设计，在六七十年代被引入电磁场问题的求解。•结构力学仿真软件ANSYS、电磁仿真软件HFSS的计算方法采用有限元法.•1966年K.S.Yee提出时域有限差分法(FDTD)，采用差分格式模拟电磁场在时间和空间演变过程。•XFDTD、EMPIRE、Fidelity等电磁仿真软件的计算方法采用有限差分时域法.•1968年Harrington提出距量法(MoM)，用于近似求解电磁场的边值问题。•NEC、FEKO、MicrowaveOffice等电磁仿真软件的计算方法采用矩量法.电磁场数值求解的基本步骤1、离散化(discretization):将所研究空间通过合适的方法离散为若干顶点（vertex）,将时间离散为若干个时间点。两个邻近顶点间的距离称为网格尺寸（meshsize）,两个相邻时间点的间隔称为时间步进(timestep)。2、建立代数方程组：将偏微分或积分方程近似或离散化为代数方程组。代数方程组中的未知数即为离散点的解。3、计算：利用计算机通过直接或迭代技术解代数方程组。注意，所得代数方程组的确切解只是原始偏微分方程的近似解，因为离散化过程会引入离散误差。数值求解的有效性(1-1)只有当离散后代数方程组的解是稳定(stable)及收敛(convergent)，才可以说数值求解是有效的，即可以用代数方程组的解来代替原来电磁场偏微分方程组的解。1、稳定性是指在数值求解过程中，代数方程组的解始终是有界的。2、收敛性是指当离散间隔趋于零时，代数方程组的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解。通常以计算结果的误差是否小于预设值来判断是否收敛。**此处的收敛性与HFSS中自适应迭代所要求的收敛不同。详见第四部分HFSS简介。数值求解引起的误差(1-1)1、截断误差（truncationerror）：在数值分析过程中，将无穷序列的和由有限求和代替所引入的误差。如一个泰勒级数的n阶近似。2、离散误差(discretizationerror)：将连续空间及时间离散化所引入的误差。3、舍入误差(round-offerror)：在计算过程中，由于有限的数据位数（数值精度）所引入的误差。思考：随着网格尺寸和时间步进的减小，舍入误差和离散误差的变化趋势？随着离散间隔的减小，舍入误差会逐步变大，离散误差则会随之减少。电磁场计算机辅助分析第一部分有限差分时域法第一章引言目录第二章FDTD算法介绍第三章吸收边界条件第四章激励源有限差分时域法（Finite-DifferenceTime-DomainMethod,FDTD）是计算电磁学仿真中所用的一种数值技术。最早由K.S.Yee于1966年在其论文《NumericalsolutionofinitialboundaryvalueproblemsinvolvingMaxwell'sequationsinisotropicmedia》[IEEETrans.AntennasPropagat.Page(s):302-307,1966,Volume:AP-14]中提出。第一章引言FDTD的主要优点：1、由于采用时域方法，其运行一次仿真的解可以覆盖很宽的频带范围；2、差分的数学意义明确简单。基于差分的离散技术易于编程和计算。FDTD的主要缺点：１、存在数值色散误差，且误差大；2、收敛慢；3、为了确保运算稳定，网格尺寸和时间步进需要满足CFL条件。FDTD的数学基础是麦克斯韦方程组。FDTD对电磁场E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。有关FDTD的基本简介以及基于FDTD免费仿真软件的链接参考随着电子计算机技术的发展，FDTD在电子学、光学、电磁学等领域得到了广泛的应用。FDTD在电磁领域的主要应用有：1、辐射天线的分析；2、微波器件和导行波结构的研究；3、散射和雷达截面计算；4、电磁波在复杂结构及多介质中的传播研究；5、电磁兼容问题的仿真分析。设一函数f(x),其增量称为f(x)的一阶前向差分。)()(xfxxff,lim0'xfdxdffx函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。导数也叫微商。xfdxdfx较小时：当差商1.1差分的概念前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分与微分的关系：函数f(x)在xi点的导数可表示为dxxdfxfii)()('f’(xi)可按如下方式进行近似1.2导数的差分近似1.2.1一阶导数1）前向差分(1-1a)xffdxdfdxxdfiiii1)(这里我们将f(xi)简化表示为fi。这三种不同的近似表达式引入的误差，可由泰勒级数来分析。式子f(xi+Δx)的泰勒级数展开为将上式移项整理得2）后向差分(1-1b)xffdxdfdxxdfiiii1)(3）中心差分(1-1c)11()2iiiidfxdfffdxdxx(1-2)433322216121)(xOdxfdxdxfdxdxdfxffxxfiiiiii...21221dxfdxdxdfxffiiii(1-3)类似的,f(xi-Δx)的泰勒级数展开为(1-5)因此(1-6)可见前向及后向差分只有一阶精度。并且该精度大小取决于取样周期Δx。433322216121)(xOdxfdxdxfdxdxdfxffxxfiiiiii11xOxffdxdfiii(1-4)11xOxffdxdfiii即根据(1-2)和（1-4）式，可得中心差分和一阶导数间的关系为f(x)的导数可以表示为(1-7)(1-8)可见中心差分的精度为二阶精度，其大小取决于取样周期Δx的平方。常规的FDTD算法采用有二阶精度的中心差分公式算法。...6)(22)()(3xxfxxxfxxf22)(2)()(...6)(2)()(xOxxxfxxfxxxxfxxfxf1.2.2二阶导数(1-10)根据(1-2)和（1-4）式...12)()(2)()(42xfxxfxxfxxfxxf(1-9)22)()(2)(xOxxxfxfxxfxf将上式移项整理得各向同性线性介质中的本构关系为2.1麦克斯韦方程麦克斯韦旋度方程为(2-1a)(2-1b)(2-1c)(2-1d)第二章FDTD算法介绍mBEJtJtDHHBED(2-1e)(2-1f)JEmmJHE为电场强度,单位V/m;D为电通量密度，单位C/m2;H为磁场强度，单位A/m;B为磁通密度，单位Wb/m2;J为电流密度，单位A/m2;Jm为磁流密度，单位V/m2.直角坐标系中（2-1a）、（2-1b）可写为如下标量方程（2-2a）（2-2b）（2-2c）（2-2d）（2-2e）（2-2f）yxzmxEBEJtyzyxzmyBEEJtzxyzxmzEBEJtxyxyzxJzHyHtDyzxyJxHzHtDzxyzJyHxHtD2.2麦克斯韦方程的FDTD方程对于任何空间和时间的函数,我们可以写成空间中任意一点的坐标我们可以离散化表示为(2-3)(2-4)2.2.1Yee元胞KaneYee[1]将空间划分为若干个立方体,该立方体被称为”YeeCell”.电场分量处于元胞边线的中点，磁场分量处于元胞面的中点。zkyjxikji,,,,,,,,,nFixjykzntFijk2.2.2直角坐标中FDTD：三维情形以(2-2d)式为例，(2-5)xyzxJzHyHtD其基于Yee元胞的有限差分方程如下111/21/21/21/211,,,,122,,211,,,,122,,221111,,,,2222111,,,,222nnxxnnxxnnzznnyyEijkEijkijktEijkEijkijkHijkHijkyHijkHij12kz(2-6)上式中采用了如下平均值近似,即(2-5