3.1-辅助角公式及应用(共20张PPT)

学前测评sincoscossinsin1.两角和与差的正弦公式sin)(2.两角和与差的正弦公式的应用sin65sin65sin6sin6sincoscossin6655sincoscossin6655sincoscossin66sincoscossin6631sincos2231sincos2231sincos2231sincos22sincoscossin2020/4/16通过前面四个题目我们发现，一个角的三角函数值可以用同角的异名函数的关系表示出来，反过来，是不是任何一个同角的异名函数也可转换成一个角的三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化的呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。思考：2020/4/16辅助角公式的推导及简单应用xcosbxsina)xsin(ba222020/4/16认定目标1、了解辅助角公式的推导过程xcosbxsina)xsin(ba223、会利用辅助角公式解决三角函数问题2、会将（a、b不全为零）化为只含有一个正弦的三角形式sincosaxbx2020/4/16例1:求证：导学达标引例3sincosxx2sin()6x分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见，可以化为一个角的三角函数形式3sincosxx思考：一般地，是否可以化为一个角的三角函数形式呢?sincosaxbx2020/4/16公式推导例2：将化为一个角的三角函数形式解：①若a=0或b=0时，已经是一个角的三角函数形式，无需化简，故有ab≠0.sincosaxbxsincosaxbx②从三角函数的定义出发进行推导2020/4/16公式推导在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=,由三角函数的定义知22abr图1O的终边P(a,b)xy22sinbbrab22cosaarab所以sincosaxbx2222cossinsincosabxabx22sin()abx(tan)ba其中，2020/4/16辅助角公式xcosbxsina)xsin(ba22)ba(其中tan=因为上述公式引入了辅助角，所以把上述公式叫做辅助角公式2020/4/16注意问题①由点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限)，所以一般情况下辅助角的取值范围为（），点P(a,b)决定了所在的象限02②决定了的大小tanba2020/4/16例3：试将以下各式化为的形式sin(),(0,)AxA⑴31sincos22⑵2sin6cos⑶3sincos⑷26sin()cos()6363答案：⑴sin()6⑵22sin()352sin()6⑶27sin()36⑷2020/4/164y=sinx+3cosx。例：求函数的周期，最大值和最小值y=sinx+3cosx解：13=2(sinx+cosx)22ππ=2(sinxcos+cosxsin)33π=2sin(x+)32π2-2。所以，所求函数的周期为，最大值为，最小值为2020/4/16例5:如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=，问当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。3OABPCDQ2020/4/16分析:在求当α取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行:(1)找出S与α之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求S的最大值。RtΔOBCOB=cosα,BC=sinα解：在中，o，DARtΔOAD=tan60=3OA在中2020/4/16333OA=3DA=BC=sinα333所以3AB=OB-OA=cosα-sinα3所以，ABCDS设矩形的面积为则S=ABBC×3=(cosα-sinα)sinα32020/4/1623=sinαcosα-sinα313=sin2α-(1-cos2α)26133=sin2α+cos2α-2661313=(sin2α+cos2α)-22631π3=sin(2α+)-6632020/4/16π0α3由,得2πo2α3ππ5π2α+666进而ππ2α+=62所以当时，最大时π133α=,S=-=.6663即π3α=ABCD66因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为2020/4/16达标测评1.把下列各式化为一个角的三角函数形式31sincos22(1)sincos(2)-sincos(3)-sin()3cos()66(4)-32已知函数y3sinxcosxxR.＝＋，（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?2020/4/16课堂小结一个公式：xcosbxsina)xsin(ba22两个应用：⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题2020/4/16课后作业P.132练习62020/4/16谢谢指导！2020/4/16