相似变换及其应用

本科毕业论文题目：相似变换及其应用院（部）：理学院专业：信息与计算科学班级：信计091姓名：李博学号：2009121173指导教师：李宗成完成日期：2013年6月10日山东建筑大学毕业论文-II-原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过得科研成果。对本文的研究作出重要贡献的导师及同学，均已在文中以明确方式标明并表示了谢意。签名：日期：关于论文使用授权的说明本人完全了解山东建筑大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影音、缩印或其他复制手段保存论文。（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名：导师签名：日期：山东建筑大学毕业论文-III-目录摘要..................................................IVABSTRACT..............................................V1前言..................................................61.1选题的背景.............................61.2本文要解决的问题和所用的方法...................61.3成果及其意义...........................72相似变换及其性质........................................72.1相似变换的基本概念........................72.2相似变换的性质及相关推论.....................93相似变换的应用.........................................113.1在求矩阵特征值与特征向量中的应用................113.2在矩阵对角化中的应用.......................133.3在分块矩阵中的应用........................163.4在求矩阵若尔当标准型中的应用..................173.5在线性变换中的应用........................203.6在求函数迭代根中的应用......................213.7在矩阵代数中的应用........................233.8在微分方程中的应用........................24总结.................................................26谢辞..................................................27参考文献................................................28山东建筑大学毕业论文-IV-摘要相似变换是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学中很多分支问题的研究工具。本文通过学习和研究高等代数、高等数学等内容,并充分理解相关基本概念与基本方法,主要解决了两个方面的问题。第一个是相似变换的定义与性质，第二个是相似变换的应用方面。本文在论文的论证过程中，主要运用了矩阵，函数的概念,在参考大量文献基础上，通过自己的研究与总结，列举具体的实例展示了相似变换在各个方面的应用。关键词：相似变换；矩阵；特征值;对角化山东建筑大学毕业论文-V-SimilarityTransformationandIt’sApplicationsAbstractSimilaritytransformationisanimportantelementintheadvancedalgebra,anditisaresearchtoolinmanybranchesofhighermathematics.Thearticlehassolvedthreeaspectsofquestionsthroughlearningandresearchingthecontentsofhighermathematics,advancedalgebra,andunderstandingthebasicconceptsandbasicmethods.Thefirstisintermsofthedefinitionandnatureofsimilaritytransformation;thesecondisintermsoftheapplicationsofsimilaritytransformation.Inthispaper,wemainlyusetheconceptsofthefunctionandmatrixinprocessofargumentation.ThepapershowsapplicationsofsimilaritytransformationinallkindsofaspectsinspecificexamplesthroughmyownresearchandthoughtonthebasisofconsultinganumberofLiterature.Keywords:Similaritytransformation;matrix;eigenvalue;diagonalization山东建筑大学毕业论文-6-1前言1.1选题的背景矩阵相似变换是线性代数里面的一项重要内容，也是解决线性代数问题的一个重要工具，它在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用，如求矩阵特征值、特征向量、求矩阵对角型、求矩阵若当标准型等。相似变换的应用几乎贯穿线性代数内容的始终，几个主要概念和计算几乎都涉及到。它正如一只看不见的手，将线性代数各个部分看似零散的知识点统一起来，形成一个整体。同时，作为矩阵运算的一种方法，其在高等代数中有着极为重要的地位，也是高等代数的教学重点和难点。虽然相似变换的内容比较简单,但它贯穿于整个高等代数理论的始终,应用相似变换证明命题,过程容易被接受。所以,许多学者们也在不断地挖掘相似变换的潜力,尽量用它来描述、证明、计算各种问题，使相似变换能在数学领域及其它科学领域中发挥更大的作用。但是目前国内关于矩阵初等变换的研究多是就其在某一方面如二次型、解方程组等的应用，而国外很多矩阵、线性代数方面的研究基于矩阵的相似变换，作为研究的工具，却缺少矩阵相似变换的专论。因此，一方面矩阵的初等变换处境尴尬，作为必不可少的工具却不被重视，另一方面即使被重视，关于它的理论知识、研究成果凌散、不系统。本文旨在综合前人在矩阵相似变换方面的诸多研究，对矩阵相似变换的相关理论成果做全面的梳理整合，使矩阵相似变换的理论更全面、细致，同时在借鉴前人的基础上，提出自己的新见解，希望能对矩阵理论的教学提供参考作用。1.2本文要解决的问题和所用的方法本文主要解决了三个问题：(1)相似变换的基本概念及性质；(2)相似变换在矩阵运算中的应用；山东建筑大学毕业论文-7-(3)相似变换在其他数学问题中的应用。本文解决的问题主要用的是推理证明和计算，并对它的应用加以举例用实际的数学数据来证明问题。加深对相似变换的了解。1.3成果及其意义(1)通过对第一个问题的研究，我们可以了解相似变换的基本概念和运算性质，从而可以全面的了解矩阵的相似变换；(2)通过对第二个问题的研究，我们可以得到相似变换在矩阵变换与运算中的应用；(3)通过对第三个问题的研究，我们可以认识到相似变换在解决其他数学问题方面也有着重要的意义；2相似变换及其性质2.1相似变换的基本概念定义2.1设A、B为数域F上两个n阶方阵,如果存在F上的n阶可逆矩阵P,使APPB1,（1）则称B是A的相似矩阵,或称矩阵A与B相似.反之，两个矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P，使APPB1。运算APP1称作对A进行相似变换.可逆矩阵P称作把A变为B的相似变换矩阵。关于矩阵的初等变换，有以下几个引理。引理1.1对一个ｓ×ｎ矩阵Ａ作初等行变换，就相当于在Ａ左边乘上相应的ｓ×ｓ初等矩阵；对Ａ作初等列变换，就相当于在Ａ右边乘上相应的ｎ×ｎ初等矩阵。引理1.2ｎ级矩阵Ａ为可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积。因此，若Ａ、Ｂ两个ｎ阶方阵相似，则存在ｎ阶可逆方阵Ｐ使B=P1AP，也意味着存在一些初等矩阵P1…，Pi，使P=P1…Pi。初等矩阵都是可逆矩阵，且山东建筑大学毕业论文-8-它们的逆矩阵还是初等矩阵，于是有：B=（P1…，Pi）1A（P1…Pi）=P11…P1iAP1…Pi.（2）其中，P（i，j）1=P（i，j），P（i（k））1=P（i（k1）），k≠0，P（i，j（k））1=P（i，j（-k））。上式中的P11与P1是成对出现，可记作P11=Q，同理也可表示B。于是，由A到B所做的相似变换运算P1AP相当于对A做一系列初等行变换与列变换，不妨称每做一对初等行变换与列变换为一次相似初等变换。定义2.2以下三种变换统称矩阵的相似变换;1将n阶矩阵A的第i行与第j行交换,接着将其第i列与第j列交换,称矩阵的第一种相似变换;2将矩阵A的第i行乘以k(k≠0),接着将其第i列乘以k1,称作矩阵的第二种相似变换;；3将矩阵的第j行乘以k加到第i行,接着将其第i列乘以-k加到第j列，称作矩阵的第三种相似变换。定理2.1任意n阶方阵A经相似变换后得到的新矩阵与A相似。由（1）式表明，只要对A施行一系列相似变换，矩阵A就可化为B，并将（1）改写为iPPEPP21（3）把（2）与（3）比较得：当对A施行有限次相似变换化为B时，对E只需做其中相应的初等变换，则E就可化为P。定理2.2设A为n阶方阵，做相似变换PBEAEA作相应的列变换对做相似变换对___________________，则APPB1。例2.1设A=4312，求P，使AAPP1。山东建筑大学毕业论文-9-解：.300141321001341121001431222331PABAcr验证得AAPP1。2.2相似变换的性质及相关推论性质2.1相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的秩。性质2.2相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。性质2.3若A与B相似，则kA与kB相似。（k为正整数）性质2.4若A与B相似，则mA与mB相似。（m为正整数）性质2.5若A与B相似，而)(xf是一个多项式，则)(Af与)(Bf相似。性质2.6).)(()(2111211PAPPAPPAAP性质2.7PAPkPAPkPAkAkP21211122111)(（21,kk为任意常数）注：（1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。推论2.1若矩阵nnA与对角阵n21相似，则n,,,21是A的n个特征值。推论2.2每一次相似变换都把一个n阶矩阵A变换为与其相似的另一个同阶矩阵B。山东建筑大学毕业论文-10-推论2.3用n阶矩阵A和n阶单位矩阵Im以及n阶零矩阵On构造2n×2n阶分块矩阵，对其中的A施加相似变换，使之变换为B，则B相似于A。与此同时左下角的n阶单位矩阵Im则变换成为相似变换矩阵P，而右上角的n阶单位矩阵P1。例2.2设n阶方阵A有n个互异的特征值，设n阶方阵B与A有相同的特征值。证明：A与B相似。证：设A的n个互异的特征值n,,,21，则存在可逆矩阵1P，使得nAPP