9-2(1)利用直角坐标计算二重积分

设区域D关于x轴对称,且x轴的上方部分为D1,如果函数f(x,y)关于y为偶函数,则1),(2),(DDdyxfdyxf如果f(x,y)关于y为奇函数,则0),(Ddyxf几何意义应用xyzo1Dzyxo1D类似一元函数的对称性若积分区域关于x（y）轴对称，被积函数为y（x）的奇函数，则积分值为零。被积函数为y（x）的偶函数积分值为x轴上方（y轴右方）积分值的两倍。在利用被积函数的奇偶性化简二重积分时，既要要求被积函数关于y（或x）具有奇偶性，又要要求积分区域关于x（或y）轴具有对称性，二者缺一不可。第二节二重积分的计算法（1）二、小结思考题一、利用直角坐标系计算二重积分二重积分的计算方法•类似于一元函数的定积分的计算。按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法。下面介绍一种计算二重积分的方法，就是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。定积分的应用复习1、求曲边梯形的面积abxyo)(xfyxdxxAbadxxfA)(xoab2、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果已知立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．xzyoD),(yxfzi),(iixzyo),(yxfzDi),(ii3、二重积分的几何意义表示以曲面z=f(x,y)为顶,D为底的曲顶柱体的体积.(1)设z=f(x,y)0,(x,y)DDdyxf),((2)设z=f(x,y)0,(x,y)DDdyxf),(表示曲顶柱体体积的负值.表示这些部分区域上的柱体体积的代数和.(3)若z=f(x,y)在D上若干部分区域是正的,在其它部分区域是负的.Ddyxf),(利用几何方法讨论二重积分Ddyxf),(的计算问题假定0),(yxfy0xzyabcdDz=f(x,y)一、利用直角坐标系计算二重积分1、D为矩型区域DyxyxfVd)d,(D是矩形区域[a,b;c,d]平行截面面积为已知的立体的体积dcyyAV)d(y0xzyabcdDz=f(x,y))(yAyyyxfz),(..一、利用直角坐标系计算二重积分1、D为矩型区域D是矩形区域[a,b;c,d]baxyxf)d,(A(y)=DyxyxfVd)d,(0xzyyabcdD.z=f(x,y)一、利用直角坐标系计算二重积分1、D为矩型区域dcbaxy,xfy)d(dD是矩形区域[a,b;c,d]baxyxf)d,(A(y)=dcyyA)d(Vyxyxfdcbad)d,(DyxyxfVd)d,(请你动手1122yxDdyxD，是矩形闭区域：，其中）（计算3810221022)(4)(dyyxdxdyxD102)31(4dxx)3131(4由于积分区域关于x轴y轴都对称，被积函数为x和y的偶函数，所以2、D为曲线型区域如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcd(1)Y型区域cdD)(1yx)(2yxY型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.0xzycdDz=f(x,y)x=2(y)x=1(y)yD:1(y)x2(y)cydDyxyxfVd)d,(0xzycdDz=f(x,y))(yA.yyyyxfz),(..DyxyxfVd)d,()()(21)d,(yyxyxfA(y)=D:1(y)x2(y)cydx=2(y)x=1(y)x=1(y)0xzyycdD.z=f(x,y)D:(y)x(y)cydDyxyxfVd)d,(dcyyA)d(V=dcyyxyxfy)()(21)d,(ddcyydyxyxf)()(21)d,(x=2(y))()(21)d,(yyxyxfA(y)=的二次积分后对先对yx(2)x型区域如果积分区域为：,bxa).()(21xyx［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xyX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.xzyabDz=f(x,y)x)(1xy)(2xyD:1(x)y2(x)axbDyxyxfVd)d,(baxd)()(21d),(xxyyxf的二次积分后对先对xyX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.如图所示，3D2D1D分割后的三个区域分别为X-型区域（或Y-型）利用积分公式.321DDDD则必须分割.若区域既不是X-型，又不是Y-型。若区域既不是X-型，又不是Y-型。若区域既是X-型，又是Y-型。总结：1°画出积分区域D的草图2°根据积分区域类型，选择积分次序，确定积分上下限。将二重积分转化为二次积分计算，关键是确定积分限后积先定限，限内画直线，先交为下限，后交为上限的限制以上公式并不受0),(yxf［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xyD—X型)}()(,|),{(21xyxbxayxD)()(21),(xxdyyxfbadxDdyxf),(的二次积分后对先对xyD—Y型)}()(,|),{(21yxydycyxD［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcdD)(1yx)(2yxDdyxf),()()(21),(yydxyxfdcdy的二次积分后对先对yx例1求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解法一两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxy2xy2yx2xy2yx1°画草图2°确定D的类型（确定积分次序）},10|),{(2xyxxyxDxy注意：对谁求积分，谁看作变量，其余看作常量计算。Ddxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx]2121[44102.14033dxyyxxx2]2[1022例1求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解法二两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxy2xy2yx2xy2yx1°画草图2°确定D的类型（确定积分次序）},10|),{(2yxyyyxDyxDdxdyyx)(21022)(yydxyxdydyyyyy]33[36102323.14033dyxyxyy2]3[103例2解法一解法二计算其中是由直线DxydD1y2xxy，及所围成的闭区域。xyD12xx1yoyyx2xD12yxyo的二次积分后对化为先对xydxxydyx][211dxyxx1212]2[dxxx)22213（2124]48[xx811Dxyd的二次积分后对化为先对yxDxyddyxydxy][212dyxyy2212]2[dyyy)22321（811]8[2142yy例3解dyxyD221计算其中是由直线所围成的闭区域。Ddyxy221Dxy1x1y，，及（计算比较麻烦）yxoxxy11y1y1ox1xy的二次积分后对化为先对xy11122]1[xdxdyyxyDdyxy22110321)1(32dxx11122]1[ydydxyxy的二次积分后对化为先对yx例4求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.解1°画草图2°确定D的类型（确定积分次序）}1,10|),{(yxxyxDD—X型Dydxdyex2212102xydyexdx11022xydyedxxdyey2无法用初等函数表示积分时必须考虑次序xy1yDydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e}0,10|),{(yxyyxDD—Y型0xyx例5计算其中是抛物线及直线所围成的区域。xy22xyDxyd，D解：（计算比较麻烦）y2yo1)1,1(2yx)2,4(2yxDxyo)1,1(2yx)2,4(2yxDxx4xyxyx1的二次积分后对化为先对yxDxyd2122][yydyxydx855]2[22122dyyxyy的二次积分后对化为先对xyDxyd12DDxydxyd41210][][xxxxdxxydydxxydyyx1例6改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式10dy解积分区域如图}10,10|),{(xyxyxD0x积分区域dxyxf),(y10xy1将二重积分化为二次积分计算时，要注意选择积分次序即要考虑积分区域（一般分块越少越好）又要考虑被积函数（一般先积分的容易求，并为后积分的作准备）例7改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式10dy解积分区域如图}20,10|),{(21xxyxyxD21DDD}20,21|),{(2xyxyxD22xxyxy2xy222xxy积分区域211yxyx2dxyxf),(yy2112例8改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式=aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdy22xaxy22yaaxa2aa2aayx22D1D2D3321DDD例9求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解积分区域为立体在xoy面上的投影如图所示.10,10yx由于yx所以22yxxy2xy所求体积V=1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247Ddxyyx)(xy1例10计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］思考题解答dcbaDdyyfxfdxdxdyyxf)()(),(21dxdyyfxfbadc])()([21dxdyyfxfbadc