直线的参数方程

直线的参数方程请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0AxByCk2121yyxxtanx·cosα+ysinα-p=0x·cosα+ysinα-p=0法线式：（直线l的法向量（A,B））0AxByC000问题：已知一条直线过点M(x,y)，倾斜角，求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos,sin)0MMxOy解:在直线上任取一点M(x,y),则00,)()xyxy（00(,)xxyyel设是直线的单位方向向量，则(cos,sin)e00//,,,MMetRMMte因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt所以00cos,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程的标准形式为（为参数）0,tMMtel由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？思考xyOM0Me解:0MMte0MMte1ee又是单位向量，0MMtet所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.|t|=|M0M|el我们知道是直线的单位方向向量，那么它的方向应该是向上还是向下的？还是有时向上有时向下呢？???分析:是直线的倾斜角，当0时,sin0又sin表示e的纵坐标，e的纵坐标都大于0那么e的终点就会都在第一，二象限，e的方向就总会向上。此时,若t0,则的方向向上;若t0,则的方向向下;若t=0,则M与点M0重合.0MM0MM我们是否可以根据t的值来确定向量的方向呢?0MM这就是t的几何意义,要牢记0tMM辨析:19(112xttyt为参数）没有请思考:此时的t有没有前述的几何意义?特征分析：abt当、满足什么条件，可使有上述的几何意义？0000cossin(xxttyytxxattyybt若把直线的参数方程的标准形式（为参数，[0,）)改写为：为参数）重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式:2201b0=cos,sin;abtMMab当且时，此时我们可以认为若[0,），则为倾斜角。00(xxattyybt为参数）221abt当时，没有上述的几何意义，我们称起为非标准形式。2202222022((axxabtabtbyyabtab）为参数）（）00(xxattyybt为参数）如何将其化为标准形式?2202222022((axxabtabtbyyabtab）为参数）（）00cossinxxtytyt（为参数）222222=cos;sin;,ababttabab设:则b0t当时，有上述的几何意义。基础训练1直线002sin201cos20xtyt(t为参数),经过定点，倾斜角为2直线132312xtyt(t为参数)方程中，t的几何意义是（）（A）一条有向线段的长度（B）定点P0（3，1）到直线上动点P(x，y)的有向线段的数量（C）动点P(x，y)到定点P0（3，1）的线段的长（D）直线上动点P(x，y)到定点P0（3，1）的有向线段的数量(2,-1)110°B基础训练3已知直线3443xtyt(t为参数),下列命题中错误．．的是（）(A)直线过点（7，1）(B)直线的斜率为3/4(C)直线不过第二象限(D)|t|是定点M0（3，4）到该直线上对应点M的距离D3cos20(2+sin20ooxttyt为参数）4：将下列直线的倾斜角（1）（2）3cos20(2sin20ooxttyt为参数）（4）3sin20(2cos20ooxttyt为参数）3-cos20(2+sin20ooxttyt为参数）（3）直线参数方程的应用标准形式00cossinxxtyyt(t为参数)设M0（x0，y0），直线上动点M（x，y）则t的几何意义：t=M0Mt0M在M0的上方t=0M与M0重合t0M在M0的下方表示过定点（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程非标准形式00xxatyybt(t为参数)一般说来，t不具有上述几何意义表示过定点（x0，y0），斜率为ba的直线的参数方程例1已知直线L过点M0（4，0），倾为6(1)求直线L的参数方程(2)若L上一点M满足M0M=2，求M的坐标(3)若L与直线y=x+43交与点M，求M0M解（1）直线L的参数方程是34212xtyt（t为参数）（2）∵M0M=2∴t=2t=2当t=2时431xyM（43，1）当t=2时431xyM（43，1）∴M（43，1）或M（43，1）例1已知直线L过点M0（4，0），倾斜角为6(3)若L与直线y=x+43交与点M，求M0M（3）解一由3(4)343yxyx得交点M（4(3+1),4）22||(4344)(40)80MM解二将(1)代入y=x+43得:01313443()43422228||||8ttttMMt22.:10lxyyx例已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.ABM(-1,2)xyO22.:10lxyyx例已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。ABM(-1,2)xyO解:因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.(2sintyt3x=-1+tcos4为参数）34所以直线的参数方程可以写成易知直线的倾斜角为34212(222xttyt即为参数）把它代入抛物线y=x2的方程,得2220tt1221021022tt解得，t由参数的几何意义得1210ttAB12122MAMBttttABM(-1,2)xyO探究12121212(),,.(1)2yfxMMttMMMMMt直线与曲线交于两点，对应的参数分别为曲线的弦的长是多少？（）线段的中点对应的参数的值是多少？121212(1)(2)2MMttttt0cos1.(sinttyytaA012x=x直线为参数）上有参数分别为t和t对应的两点和B,则A,B两点的距离为2t1A.t12.Btt12.Ctt12.Dtt练习2cos1(sin,xattybtt2。在参数方程为参数）所表示的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为t、则线段BC的中点M对应的参数值是（）22t1tA.12.2ttB2|2t1|tC.12||.2ttD直线参数方程的应用（标准形式）1）求一端点是M0(x0,y0)的线段长3）求一端点是M0(x0,y0)的两线段长的和与积2)求弦长练习与作业1.直线222232xtyt(t为参数)上到点M(2,3)距离为2且在点M下方的点的坐标是____________2.直线23xtyt(t为参数)被双曲线x2y2=1截得的弦长为()(A)10(B)210(C)102(D)1033.过点P（5，3），且倾斜角满足cos=35的直线与圆x2+y2=25交于P1,P2两点,则|PP1||PP2|=_______________,弦P1P2中点M的坐标是________________(3,4)B94433(,)25254.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长度分别是m和n的两部分,则m与n的关系是()(A)m+n=4(B)mn=4(C)m+n=mn(D)m+n=2mn5.从抛物线y2=2px(p0)外一点A(2,4)引倾斜角为45°的割线与抛物线交于点M1,M2,若|AM1|、|M1M2|、|AM2|成等比数列,求抛物线方程。6.过椭圆x2+4y2=4的右焦点作一直线L交椭圆于M,N两点,且|MN|=32,求直线L的方程。7.过点P（1，2）作直线L交椭圆x2+2y2=8于M,N两点，且|PA||PB|=23，求此直线的倾斜角。