数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透

数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透湖北省长阳土家族自治县第二高级中学刘军华443500数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。这样就把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。借助数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。笔者将从几个方面来体现数形结合思想的优越性和重要性。【问题1：函数的最值】1．（2006浙江卷）对Rba,，记函数babbaaba,,|,|max，则函数)(||2||,1||max)(Rxxxxf的最小值是。【分析】方法一：写出函数的表达式，求分段函数的最小值。方法二：根据函数的意义，这是一个所谓“取大”的问题。我们只需画出函数|1|xy和|2|xy的图象，则两个函数图象上方的折线部分即为)(xf的图象，观察易得在21处取得最小值23。2．（2006辽宁卷）已知函数|cossin|21)cos(sin21)(xxxxxf，则)(xf的yx2-11o值域是()A.]1,1[B.]1,22[C.]22,1[D.]22,1[分析：本题与题1为同一类型，即}cos,min{sin)(xxxf，Rx可，这是一个所谓“取小”的问题，仿上题直接画图求出值域为]22,1[。3．函数1362222xxxxy的最小值为________。分析：抓住式子的几何意义，写成2222)20()3()10()1(xxy，转化为动点)0,(xP到定点)1,1(A和)2,3(B的和最小,即5||||||1ABPBPA，所以函数的最小值为5。【问题2：方程根的个数】1．(2010全国卷)直线1y与曲线axxy||2有四个交点，则a的取值范围是__________。分析：由直线与曲线的有四个交点转化为方程1||2axx有四个根，再转化为直线ay1与曲线||2xxy有四个交点，画出图象便可观察到只需0141a，则a的取值范围为451a。2．若直线kxy与曲线21yx恰有一个公共点，求k的取值范围。分析：曲线21yx是单位圆122yx的右半圆（0x），k是直线kxy在y轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2k，由图形：可得2k或11k。3．方程lgsinxx的实根的个数为（C）A.1个B.2个C.3个D.4个xyAxBOPxB1yxo41yay1x分析：把方程根的个数转化为两函数xylg与xysin图象的交点个数。【问题3：不等式的解集】1．（2009江西卷）若不等式2)2(92xkx的解集为区间],[ba，且2ab，则k__________。分析：问题转化为],[bax时，曲线)0(922yyx始终位于恒过定点)2,2(的直线2)2(xky的下方。观察图象知2k。2．对一切实数x不等式|1||2|xxm恒成立，则实数m的取值范围是____。方法一：根据绝对值的几何意义可知，|2||1|xx表示数轴上的点到－1与2两点的距离之和。方法二：利用分段函数|2||1|)(xxxf的图象。方法三：利用||||||baba|，则3|2||1|xx,所以3m。3．若x()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则a的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（1，2]D.[1，2]分析：画出函数图象观察，我们看到2a时为临界状态，且此时满足条件，又因为1a，所以可得21a。基于以上分析，我们不难发现：解决方程、函数、不等式中的某些问题时，用到数形结合的思想可以做到事半功倍，而且越来越多的高考题也在考察学生此方面的能力。借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，借助函数图象解决与函数相关的问题。从以上例子可体会到转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。一方面是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助yxπ2π3π1-1yx-3o33xyo12xy2log2)1(xy于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合。在解题时充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和直观形式巧妙结合，寻找合理的、简捷的途径解决问题。正如著名数学家华罗庚所说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。