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《计算方法》课程教学大纲课程编号：学时：54学分：3适用对象：教育技术学专业先修课程：高等数学、线性代数考核方式：本课程考试以笔试为主70%，兼顾学生的平时成绩30%。使用教材及主要参考书：使用教材：李庆扬.《数值分析(第四版)》,清华大学出版,2014年。主要参考书：1.朱建新,李有法.《高等学校教材:数值计算方法(第3版)》,高等教育出版社,2012。2.徐萃薇,孙绳武.《计算方法引论(第4版)》,高等教育出版社,2015。一课程的性质和任务计算方法是教育技术学专业学生的一门专业选修课。作为计算数学的一个重要分支，它是数学科学与计算机技术结合的一门应用性很强的学科，本课程重点介绍计算机上常用的基本计算方法的原理和使用；同时对计算方法作适当的分析。教学任务：通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理计算机常用数值分析的构造思想和计算方法。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识分析和解决实际问题的能力。二教学目的与要求教学目的：通过学习使学生了解数值计算方法的基本原理。了解计算机与数学结合的作用及课程的应用性。为今后使用计算机解决实际问题中的数值计算问题打下基础。通过理论教学达到如下基本要求。1．了解误差的概念2．掌握常用的解非线性方程根的方法3．熟练掌握线性代数方法组的解法4．熟练掌握插值与拟合的常用方法5．掌握数值积分方法6．了解常微分方程初值问题的数值方法三学时分配序号章节课程内容学时1第一章绪论42第二章插值法103第三章曲线拟合与最小二乘法44第四章数值积分与数值微分105第五章线性方程组的直接方法86第六章解线性方程组的迭代法47第七章非线性方程求解108第八章常微分方程数值解法4合计54四教学中应注意的问题本课程是一门理论性较强、内容较抽象的综合课程，因此面授辅导或自学，将是不可缺少的辅助教学手段，教师在教学的过程中一定要注意理论结合实际，课堂教学并辅助上机实验，必须通过做练习题和上机实践来加深对概念的理解和掌握，熟悉公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。同时应注重面授辅导或答疑，及时解答学生的疑难问题。五教学内容第一章绪论（误差）基本内容:第一节数值分析研究的对象和特点第二节数值计算的误差1.误差的来源与分类2.误差与有效数字3.数值运算的误差估计第三节误差的定性分析与避免误差的危害1.病态问题与条件数2.算法的数值稳定性3.避免误差危害的若干原则教学重点难点:重点：数值运算的误差估计。难点：误差的定性分析与避免误差的危害。教学建议:了解数值分析的背景、对象与特点。理解误差的来源与分类、有效数字、误差估计、算法的数值稳定性与病态算法。熟练掌握与误差相关的概念以及避免误差危害的若干原则。第二章插值法基本内容:第一节引言第二节拉格朗日插值1．线性插值与抛物插值2．拉格朗日插值多项式3．插值余项、误差估计第三节均差与牛顿插值公式1．均差及其性质2．牛顿插值公式第四节差分与等距节点插值公式1．差分及其性质2．等距节点插值公式第五节埃尔米特插值第六节分段低次插值1．高次插值的病态性质2．分段线性插值3．分段三次埃尔米特插值第七节样条插值教学重点难点:重点：插值与抛物插值、牛顿插值公式、等距节点插值公式、分段线性插值难点：插值余项、误差估计、牛顿插值公式、样条插值教学建议:了解插值法的背景及其应用，掌握用拉格朗日插值公式、牛顿插值公式进行插值的方法。明确理解等距节点插值、埃尔米特插值和分段低次插值、插值余项、误差估计。理解样条插值。第三章曲线拟合的最小二乘法基本内容:第一节函数逼近的基本概念1．函数逼近2．范数及其性质第二节曲线拟合的最小二乘法教学重点难点:重点：曲线拟合的最小二乘法。难点：范数及其性质、曲线拟合的最小二乘法。教学建议:掌握曲线拟合的最小二乘法。第四章数值积分与数值微分基本内容:第一节引言1.数值求积的基本思想2.代数精确度的概念3.插值型的求积公式第二节牛顿—柯特斯公式1.柯特斯系数2.偶数阶求积公式的代数精度3.几种低阶求积公式的余项第三节复化求积公式1.复化梯形公式2.复化抛物形求积公式第三节龙贝格求积公式第四节高斯求积公式第五节数值微分中点方法和误差分析插值型的求导公式利用数值积分求导教学重点难点:重点：柯特斯系数、复化求积公式、数值微分。难点：龙贝格求积公式、高斯求积公式教学建议:理解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型的求积公式、龙贝格算法和用高斯公式进行数值积分。理解数值积分法以及几种低阶求积公式的余项使用。掌握牛顿—柯特斯公式、几种低阶求积公式（二阶、三阶）、复化求积法。理解数值微分方法。第五章解线性方程组的直接方法基本内容:第一节引言与预备知识1.向量和矩阵2.特殊矩阵第二节高斯消去法1.高斯消去法2.矩阵的三角分解第三节高斯主元消去法1.列主元消去法2.高斯—约当消去法第四节矩阵三角分解法1.直接三角分解2.平方根法第五节向量和矩阵范数第六节误差分析教学重点难点:重点：高斯主元消去法、直接三角分解难点：高斯消去法教学建议:掌握高斯主元消去法以及三角分解法。了解矩阵范数、误差分析。理解向量范数和平方根法。掌握高斯（主元）消去法以及三角分解法。第六章解线性方程组的迭代法基本内容:第一节引言第二节基本迭代法1雅可比迭代法2高斯—塞德尔迭代法第三节迭代法的收敛教学重点难点:重点：雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法难点：迭代法的收敛教学建议:掌握基本的迭代法（雅可比，高斯—塞德尔）、了解迭代法的收敛性。第七章非线性方程求解基本内容:第一节方程求根与二分法1．引言2．二分法第二节迭代法及其收敛性1．不动点迭代法2．不动点的存在性与收敛性3．局部收敛性与收敛阶第三节迭代收敛的加速方法1．埃特金加速收敛方法2．斯蒂芬森迭代法第四节牛顿法1．牛顿法及其收敛性2．牛顿法应用举例3．简化牛顿法与牛顿下山法4．重根情形第五节弦截法与抛物线法1．弦截法2．抛物线法第六节解非线性方程组的牛顿迭代法。教学重点难点:重点：牛顿法及其收敛性难点：二分法、牛顿法、弦截法及其应用教学建议:理解迭代法的基本思想、迭代过程的收敛性、迭代过程的收敛速度、解非线性方程组的牛顿迭代法。理解迭代过程的加速原理、抛物线法。掌握二分法、牛顿法、弦截法。第八章常微分方程数值解法基本内容:第一节引言第二节简单的数值方法和基本概念1．Euler方法与后退Euler方法2．梯形方法3．单步法的局部截断误差与阶4．改进的Euler方法第三节龙格-库塔方法第四节单步法的收敛性与稳定性第五节线性多步法教学重点难点:重点：龙格-库塔方法、基于泰勒展开的构造方法难点：龙格-库塔方法教学建议:了解常微分方程数值解法的背景与应用。掌握Euler方法。理解龙格-库塔方法的基本思想和计算过程;了解单步法的收敛性与稳定性。了解多步法的基本思想和计算过程，重点是基于泰勒展开的构造方法。执笔人:审核人:分管教学院、系领导:胡作进2016年5月12日