2017年高考理科数学真题及答案全国卷1详细解析

绝密★启用前2017年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷共5页，满分150分。考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=|2xx，B=|320xx，则A．AB=3|2xxB．ABC．AB3|2xxD．AB=R【答案】A【解析】由320x得32x，所以33{|2}{|}{|}22ABxxxxxx，选A．2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)2B．i2(1−i)C．(1+i)2D．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1i)2i为纯虚数知选C．4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π 4【答案】B5．已知F是双曲线C：1322yx的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，学/网点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为A．13B．1 2C．2 3D．3 2【答案】D【解析】由2224cab得2c，所以(2,0)F，将2x代入2213yx，得3y，所以3||PF，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为133(21)22，选D．6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是A．B．C．D．【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．7．设x，y满足约束条件33,1,0,xyxyy则z=x+y的最大值为A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数zxy经过(3,0)A时z取得最大值，故max303z，故选D．8．函数sin21cosxyx的部分图像大致为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，函数sin21cosxyx为奇函数，故排除B；当πx时，0y，故排除D；当1x时，sin201cos2y，故排除A．故选C．9．已知函数()lnln(2)fxxx，则A．()fx在（0，2）单调递增B．()fx在（0，2）单调递减C．y=()fx的图像关于直线x=1对称D．y=()fx的图像关于点（1，0）对称【答案】C10．下面程序框图是为了求出满足321000nn的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A1000和n=n+1B．A1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为321000nn，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A，故填1000A，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2nn，故选D.11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinsin(sincos)0BACC，a=2，c=2，则C=A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B12．设A，B是椭圆C：2213xym长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A．(0,1][9,)B．(0,3][9,)C．(0,1][4,)D．(0,3][4,)【答案】A【解析】当03m时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120AMB，则tan603ab，即33m，得01m；当3m时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB，则tan603ab，即33m，得9m，故m的取值范围为(0,1][9,)，选A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．【答案】7【解析】由题得(1,3)mab，因为()0aba，所以(1)230m，解得7m．14．曲线21yxx在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1yx【解析】设()yfx，则21()2fxxx，所以(1)211f，所以曲线21yxx在点(1,2)处的切线方程为21(1)yx，即1yx．15．已知π(0)2，，tanα=2，则πcos()4=__________．【答案】3101016．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36π【解析】取SC的中点O，连接,OAOB，因为,SAACSBBC，所以,OASCOBSC，因为平面SAC平面SBC，所以OA平面SBC，设OAr，则3111123323ASBCSBCVSOArrrr，所以31933rr，所以球的表面积为24π36πr.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记Sn为等比数列na的前n项和，已知S2=2，S3=−6．（1）求na的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【解析】（1）设{}na的公比为q．由题设可得121(1)2,(1)6.aqaqq解得2q，12a．故{}na的通项公式为(2)nna．（2）由（1）可得11(1)22()1331nnnnaqSq．由于3212142222()2[()]2313313nnnnnnnnSSS，故1nS，nS，2nS成等差数列．18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）由已知90BAPCDP∠∠，得ABAP，CDPD．由于ABCD∥，故ABPD，从而AB平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，1621(8.5)18.439ii，161()(8.5)2.78iixxi，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16i．（1）求(,)ixi(1,2,,16)i的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)xsxs之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)xsxs之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)iixy(1,2,,)in的相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，0.0080.09．【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)ixii的相关系数为16116162211()(8.5)2.780.180.2121618.439()(8.5)iiiiixxirxxi．由于||0.25r，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i）由于9.97,0.212xs，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)xsxs以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134iix，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09．20．（12分）设A，B为曲线C：y=24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则12xx，2114xy，2224xy，x1+x2=4，于是直线AB的斜率12121214yyxxkxx．21．（12分）已知函数()fx=ex(ex−a)−a2x．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()0fx，求a的取值范围．【解析】（1）函数()fx的定义域为(,)，22()2ee(2e)(e)xxxxfxaaaa，①若0a，则2()exfx，在(,)单调递增．②若0a，则由()0fx得lnxa．当(,ln)xa时，()0fx；当(ln,)xa时，()0fx，故()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增．③若0a，则由()0fx得ln()2ax．当(,ln())2ax时，()0fx；当(ln(),)2ax时，()0fx，故()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增．（2）①若0a，则2()exfx，所以()0fx．②若0a，则由（1）得，当lnxa时，()fx取得最小值，最小值为2(ln)lnfaaa．从而当且仅当2ln0aa，即1a时，()0fx．③若0a，则由（1）得，当ln()2ax时，()fx取得最小值，最小值为23(ln())[ln