高二数学必修5数列单元测试题及解析

2014-2015高二数学必修5数列单元测试题及解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，那么数列{an}()A．是公比为2的等比数列B．是公差为2的等差数列C．是公比为12的等比数列D．既非等差数列也非等比数列解析由log2Sn＝n，得Sn＝2n，a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝22－2＝2，a3＝S3－S2＝23－22＝4，…由此可知，数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．答案D2．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a5＝()A．6B．－3C．－12D．－6解析a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.答案D3．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为()A．an－1B．naC．anD．(n－1)a解析由题意，知an＝a(a≠0)，∴Sn＝na.答案B4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为()A．63B．64C．127D．128解析a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.∴S7＝1－271－2＝128－1＝127.答案C5．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)的值等于()A．－8B．8C．－98D.98解析a2－a1＝－1－－3＝83，b22＝(－1)×(－9)＝9，∴b2＝－3，∴b2(a2－a1)＝－3×83＝－8.答案A6．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为()A．2B．3C．4D．5解析依题意，得－10＝－12＋82(n＋2)，∴n＝3.答案B7．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为()A．4B.14C．－4D．－14解析由a4＝15，S5＝55，得a1＋3d＝15，5a1＋5×42d＝55.解得a1＝3，d＝4.∴a3＝a4－d＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)．kPQ＝15－114－3＝4.答案A8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19＝()A．55B．95C．100D．190解析S19＝a1＋a192×19＝a3＋a172×19＝102×19＝95.答案B9．Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a4＋a15是一个确定的常数，则在数列{Sn}中也是确定常数的项是()A．S7B．S4C．S13D．S16解析a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7为常数．∴S13＝a1＋a132×13＝13a7为常数．答案C10．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，则通项是()A．2n－1B．2nC．2n＋1D．2n＋2解析∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)，∴62＝q×31，∴q＝2.∴S5＝a1－251－2＝31.∴a1＝1，∴an＝2n－1.答案A11．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是()A．4或5B．5或6C．6或7D．不存在解析由d0知，{an}是递减数列，∵|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，即a3＋a9＝0.又2a6＝a3＋a9＝0，∴a6＝0.∴S5＝S6且最大．答案B12．若a，b，c成等比数列，则方程ax2＋bx＋c＝0()A．有两个不等实根B．有两相等的实根C．无实数根D．无法确定解析a，b，c成等比数列，∴b2＝ac0.而Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac0.∴方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2，x，y，z,18成等比数列，则x＝________.解析设公比为q，则由2，x，y，z,18成等比数列．得18＝2q4，∴q＝±3.∴x＝2q＝±23.答案±2314．若数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤1，an－1，an1，且a1＝67，则a2013＝________.解析由题意，得a1＝67，a2＝127，a3＝57，a4＝107，a5＝37，a6＝67，a7＝127，…，∴a2013＝a3＝57.答案5715．一个数列的前n项和为Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1n，则S17＋S33＋S50＝____________.解析S17＝－8＋17＝9，S33＝－16＋33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1.答案116．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.解析S4a4＝a11－1241－12a1123＝15.答案15三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．解(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21，∵a1≠0，∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即an＝2n－1.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.18．(12分)已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Sn.(1)证明{bn}为等差数列；(2)若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围．解(1)证明：设{an}的公比为q，则a1＝81，an＋1an＝q，由an0，可知q0，∵bn＋1－bn＝log3an＋1－log3an＝log3an＋1an＝log3q(为常数)，∴{bn}是公差为log3q的等差数列．(2)由(1)知，b1＝log3a1＝log381＝4，∵S11≠S12，且S11最大，∴b11≥0，b120，即b1＋10d≥0，b1＋11d0.d≥－b110＝－25，d－b111＝－411.∴－25≤d－411.19．(12分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)证明：1S1＋1S2＋…＋1Sn34.解(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d0，q≠0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依题意有b2S2＝＋dq＝64，b3S3＝＋3dq2＝960.解得d＝2，q＝8，或d＝－65，q＝403，(舍去)．故an＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)证明：由(1)知Sn＝3＋2n＋12×n＝n(n＋2)，1Sn＝1nn＋＝121n－1n＋2，∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋3n＋n＋∵2n＋3n＋n＋0∴1S1＋1S2＋…＋1Sn34.20．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q，由已知，得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝n－16＋12n－2＝6n2－22n.21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.∴an＝4n－1(n∈N*)．由an＝4log2bn＋3＝4n－1，得bn＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，∴Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)×2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)×2n－1＋(4n－1)×2n.∴2Tn－Tn＝(4n－1)×2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5.22．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an－2an－1－2n－1＝0(n∈N*，n≥2)．(1)求证：数列{an2n}是等差数列；(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.解(1)∵an－2an－1－2n－1＝0，∴an2n－an－12n－1＝12，∴{an2n}是以12为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)，得an2n＝12＋(n－1)×12，∴an＝n·2n－1，∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①则2Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n②①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－2n1－2－n·2n＝2n－1－n·2n，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.======*以上是由明师教育编辑整理======