高等测量平差-6

高等测量平差孙海燕武汉大学测绘学院第六章非线性模型平差第一节问题的提出武汉大学测绘学院孙海燕经典平差（最小二乘平差）具有最优性的条件：函数模型为线性模型；观测误差为服从正态分布偶然误差。测量问题中大量的数学模型是非线性模型（线性化）若（模型误差），破坏了系统误差为零的假设，导致：1）最小二乘解为有偏估计2）最优性值得怀疑非线性平差研究的问题：1）非线性强度（评价的大小）2）非线性问题的解算)()()()(0'0xRxxfxfyf0)(xR)(xR第六章非线性模型平差第二节非线性模型平差原理武汉大学测绘学院孙海燕一、非线性误差方程22()()kjhjiikjhjihjhjSiyyyyarctgarctgxxxxSxxyy角度与边长的观测方程GPS伪距观测方程222()()()jjjjjkkkkkxxyyzzct非线性观测方程()LfX非线性误差方程LXfV)ˆ(非线性模型台劳级数线性近似模型误差观测误差第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕二、非线性模型平差平差准则：LXfV)ˆ(对非线性模型必要观测数、多余观测数与线性模型的概念相同min))ˆ(())ˆ((LXfPLXfPVVTT非线性模型平差问题仍为条件极值问题，约束条件与目标函数均为非线性函数（计算复杂度大大增加）第六章非线性模型平差第三节非线性模型平差的算法武汉大学测绘学院孙海燕一、非线性方程的解法举例1、对分区间法ab2ba)(xfy设，0)(af0)(bf若，令0)2(baf21baa若，令，类似，得0)2(baf21bab),(,),,(),,(),,(2211nnbabababa方程的解，0)(xf2*nnbax，解的误差小于12nab原理：构造包含解的区间套),(),(),(),(2211nnbabababannnnbaxlimlim*第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕2、迭代法求，的解，令，0)(xf取初值，作迭代，得序列若该序列收敛，则，注：1）初值的选取解，2）迭代格式收敛性的判断实际计算：当时)(xx)()(xfxx)(1nnxx0x}{nxnnxxlim*||1nnxx1*nxx第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕3、牛顿法考虑作近似方程构造迭代格式即!2)()()()()()(0200'00xfxxxfxxxfxf0)()()(0'00xfxxxf)(/)(0'001xfxfxx)(/)('1nnnnxfxfxx当，||1nnxx1*nxx)(/)(0'00xfxfxx第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕二、非线性最小二乘估计的近似解对非线性方程线性化,得LXfV)ˆ(令误差方程为:))((ˆ)(00XfLXXXfVXX000000000)()()()()()()()()(212221212111XXtnXXnXXnXXtXXXXXXtXXXXxXfxXfxXfxXfxXfxXfxXfxXfxXfB)(0XfLllXBVˆ参数的解为:PlBPBBXTT1)(ˆXXXˆˆ0例1：已知非线性模型为。其中参数和的真值为：。的5个真值和相应的5个同精度独立观测值列于下表：第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕观测值的中误差为TX25436189420136187.521ixiexLi12345真值4.2028343.2589242.5270061.9594691.519394观测值4.203.252.521.951.511x2xiLTX3.04.50将误差方程线性化，得取参数近似值007833.00第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕权阵取单位阵，法方程的解为：TXXX250246213.0394141979.5ˆˆ03051.03236.03245.02864.01996.0ˆˆ0245.62231.05058.63012.05864.64066.09272.55488.00004.47408.0ˆ21xxlXBVTX049953787.0005858021.0ˆTXXX004315680.0025994200.0ˆˆ807.1/|ˆ|1ˆ1xx670.3/|ˆ|2ˆ2xx例2：已知非线性模型为。其中参数和的真值仍为：。的5个真值和相应的5个同精度独立观测值列于下表：第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕（观测值的中误差为）TX25436189420136187.5i12345真值29.123514.43469.53837.09015.6212观测值29.1214.439.537.095.621x2xiLTX3.04.50取参数近似值004540.00221/xixLi088.010.011.015.026.0116.217.216.314.518.10dXlBdXV198.0/|ˆ|1ˆ1xx717.0/|ˆ|2ˆ2xx理解例1、例2的差别：第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕例1和例2的观测精度基本相同，参数的真值和其相应的近似值也相同，但例1中参数估值的精度却远远低于例2中参数估值的精度。其原因主要是例1线性近似时引起了较大的模型误差。而例2线性近似时引起的模型误差较小，可忽略不计。为什么不同的非线性模型线性近似时会引起不同的模型误差呢？这是因为不同的非线性模型的“非线性”程度不一样。“非线性”程度越强，线性近似时产生的模型误差就越大。非线性模型的“非线性”程度，称为非线性强度(non-linearity)。显然，非线性强度越强，线性近似时产生的模型误差就越大。因此，一个非线性模型，采用线性近似的方法进行参数估计时，参数估值的精度很大程度上取决于该模型的非线性强度。越大，非线性强度越强非线性强度越强，线性化带来的误差越大。第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕关于非线性强度概念的理解的大小与曲线切方向（切线斜率）的变化率有关)(xR非线性强度是与(曲面)曲线曲率相关的量。非线性强度举例：22)ˆ()()ˆ)(ˆ()ˆ()(ˆXfXfXXXBXfXfNXXXtnnnttxfxfxfxfxfxfxfxfxfXBˆ212221212111)ˆ(xNˆ为线性近似后得到的参数估值。公式中分子为的展开式中除去线性项以外的各项。分母包括了展开式的所有余项。显然，若是的线性函数，则分子为零，有，否则。因此，由可以判断是否为非线性函数，且越大，非线性越强。第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕22)ˆ()()ˆ)(ˆ()ˆ()(ˆXfXfXXXBXfXfNXXˆ)ˆ()(XfXf)(XfX0ˆxN0ˆxN)(XfxNˆ0ˆxN当大于观测误差时，不宜线性化。)(xR第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕三、非线性最小二乘估计的迭代解当非线性模型的非线性强度很强时，线性近似可能产生大于观测误差的模型误差，所以对于非线性模型，一般采用迭代的方法求解。求解非线性误差方程最小二乘平差值，就是求参数的估值，使ˆˆˆ()(())(())ˆˆˆ()()2()minTTTTTVPVXfXLPfXLfXPfXfXPLLPL由于是一常量，所以上式等价于目标函数为ˆˆˆˆ()()()2()minTTRXfXPfXfXPL的非线性无约束最优化问题。因为是的非线性函数，所以对上式求一阶偏导数，并令其为零，一般得不到的显表达式。故求不出的解析解。因此，我们只能设法寻找某一近似解，使)ˆ(*)(XRXRXTLPL)ˆ(Xf*XXX第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕一、牛顿法设的极小值的一个近似值为，在附近将展为台劳级数，取至二次项得：)ˆ(XRmin21)()(*)()()()()()()()(kkTkkkKKKdXGdXdXgXRdXXRXR)(21)()(2)(1)()(ktktkkkXXxRxRxRgggg式中TkktttttkGXXxRxxRxxRxxRxRxxRxxRxxRxRG)(2222122222212212212212是在处的梯度方向。)(kX)(kg由于是的一个已知的近似值，故上式只是的函数，为了求得使式成立的对求偏导，并令其为零，得：)(kX)(kdX)(kdX0)()(kTkkGdXgTkkkgdXG)()(TkkkgGdX)(1)(kXkX*X)ˆ(XR)ˆ(XR*X)(kdX第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕)()()1(kkkdXXX)1(21)1()1(2)1(1)1()(ktktkkkXXxRxRxRgggg令)1(22221222222122122122121ktttttkXXxRxxRxxRxxRxRxxRxxRxxRxRG依此类推，迭代至)()()()1(kkXRXR0)()(kTkkGdXgTkkkgdXG)()(TkkkgGdX)(1)(0)1(kg，计算或此时，令)1(*kXX第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕例1已知非线性模型设，用牛顿法求非线性模型的最小二乘估计量。TX30450..解：目标函数21ixiexL225112512122ixiiixiTTeLxexLXfXfXfXR)()()()()(2)(22222512511151251121ixiiixiixiiixieiLiexxeLexxRxRg)2(2)2(2)2(2222222222512511151251151511251222122212212ixiiixiixiiixiixiiixiiixikeLiiexxeiLiexeiLeLxexRxxRxxRxRG将代入计算，后，按以上迭代程序迭代，结果列于下表。)(0X)0(g0G迭代6次后，有，停止迭代，得的非线性最小二乘解为第六章非线性模型平差武汉大学测绘学院孙海燕k123456g(k)-1.2050249080.3991833380.02889398010.0001691624-3.9492×10-9-2.4012×10-9-17.15305037.0372427130.49484074240.00293801222.4039×10-7-1.5569×10-7X(k)5.3330132655.417198095.4227080035.4427445655.4227445935.422744582-0.253914522-0.25425733-02556634078-0.2556720853-0.255672087-0.255672086R(X(k))-40.21054702-