线性代数第三章向量复习题答案

第1页（共6页）第三章向量复习题一、填空题：1.当t____3t时，向量123(1,2,2),(4,,3),(3,1,1)TTTt线性无关.3.如果n,,,21线性无关，且1n不能由n,,,21线性表示，则121,,,n的线性无关4.设T)5,2(1,Ta)1(2，，当a时，21,线性相关.5.一个非零向量是线性无关；的，一个零向量是线性相关的.6.设向量组A:321,,线性无关，31，12，32线性相关7.设A为n阶方阵，且1)(nAr，21,是AX=0的两个不同解，则21，一定线性相关8.向量组1,,lL能由向量组1,,mL线性表示的充分必要条件是12(,,)mR等于1212(,,,)mlR,,,。(填大于，小于或等于)9.设向量组11,1,1,21,2,3,31,3,t线性相关，则t的值为5t。二、选择题：1..n阶方阵A的行列式0A,则A的列向量（A）Ａ．线性相关Ｂ．线性无关Ｃ．0)(ARＤ．0)(AR2.设A为n阶方阵，nrAR)(，则A的行向量中（A）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示3.设有n维向量组（Ⅰ）：12,,,r和（Ⅱ）：12,,,()mmr，则（B）．A、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关第2页（共6页）B、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关C、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关D、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4.下列命题中正确的是(C)(A)任意n个1n维向量线性相关(B)任意n个1n维向量线性无关(C)任意1n个n维向量线性相关(D)任意1n个n维向量线性无关5.向量组r,,,21线性相关且秩为s，则(D)（A）sr(B)sr(C)rs(D)rs6.n维向量组s，，，21(3sn）线性无关的充要条件是（B）.(A）s，，，21中任意两个向量都线性无关(B)s，，，21中任一个向量都不能用其余向量线性表示(C)s，，，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)s，，，21中不含零向量7.向量组n,,,21线性无关的充要条件是（D）A、任意i不为零向量B、n,,,21中任两个向量的对应分量不成比例C、n,,,21中有部分向量线性无关D、n,,,21中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示8.设A为n阶方阵，nrAR)(，则A的行向量中（A）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示9.设A为n阶方阵，且秩12()1.,An是非齐次方程组AXB的两个不同的解第3页（共6页）向量,则AX0的通解为(C)A、1kB、2kC、)(21kD、)(21k10.已知向量组1231,1,1,1,2,0,,0,0,2,5,2t的秩为2，则t（A）.A、3B、-3C、2D、-211.设A为n阶方阵，nrAR)(，则A的行向量中（A）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示12.设向量组A:321,,线性无关，则下列向量组线性无关的是（C）A、321，321232，321323B、21，32，13C、212，3232，133D、12-，32，321214.已知向量组A线性相关，则在这个向量组中(C)(A)必有一个零向量.(B)必有两个向量成比例.（C)必有一个向量是其余向量的线性组合.(D)任一个向量是其余向量的线性组合.15.设A为n阶方阵，且秩()1RAn,12,aa是非齐次方程组Axb的两个不同的解向量,则0Ax的通解为()（A）12()kaa（B)12()kaa（C)1ka(D)2ka16.已知向量组1,,mK线性相关，则（C）（A）该向量组的任何部分组必线性相关.（B)该向量组的任何部分组必线性无关.（C)该向量组的秩小于m.(D)该向量组的最大线性无关组是唯一的.第4页（共6页）17．已知123234(,,)2,(,,)3,RR则(C)（A）123,,线性无关（B)234,,线性相关（C)1能由23,线性表示(D)4能由123,,线性表示18.若有1133016,02135kkk则k等于(A)1(B)2(C)3(D)4第三题计算题：1.已知向量组0221,8451,6352,2130,421154321（1）求向量组54321,,,,的秩以及它的一个极大线性无关组；（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。解:：0000010000021100120144220021101633011201086242431225531112013),,,,(54321r其极大线性无关组可以取为521,,且：521302，5214022.求向量组A：T)-2,6,2,0(1，T)1,-2,-1,0(2，T)-2,-4,0,2(3，T)22,10,0(4，，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.解：由题意，第5页（共6页）故向量组A的一个极大无关组为321,,，其中3143.设1231,4,32,,12,3,1TTTa,,1)a为何值时,123,,线性无关.2)a为何值时,123,,线性相关.4.求向量组123:1,2,1,12,3,1,24,1,1,0TTTA、、的极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.解第一步先用初等行变换把矩阵化成行(最简形)阶梯形矩阵．2211231324142122734124124124102231077011011111033000000120044000000rrrrrrrrrrrrrAF()2rA知，即123,,2r，12,或13,均为A的极大无关组，记123,,Ffff，由矩阵F可见3122fff，则有3122.5.已知1231,4,22,7,30,1,3,10,4TTTTa,,,，问a为何值时，可22100200012426212A22100200200101021231312rrrr011000001001010121121211334rrrr01010001000100012110213231rrrrrr第6页（共6页）班级（学生填写）：姓名：学号：------------------------------------------------密----------------------------封---------------------------线------------------------------------------------（答题不能超出密封线）由123,,唯一线性表示？并写出表示式解231102124433373313301ccAaaaa２２３＝１１（1）当3a时，123,,线性相关.当3a时，123,,线性无关.7.求向量组A:T)2,1,1(1，T)1,3,0(2，3(1,5,4)T，T)2,2,1(4，5(2,3,4)T的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.解：由题意，21311011210112135230361122142401200rrArr23231321011210101300011012000120000011rrrrrrr故向量组A的一个极大无关组为421,,，其中3122，5128.试求向量组1=(1,1,2,2)T,2=(0,2,1,5)T,3=(2,0,3,-1)T,4=(1,1,0,4)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。解:以1,2,3,4作为列构造矩阵A,即A=(1,2,3,4)用初等行变换化A为行阶梯形矩阵T,则T的非零行的行数r即为R(A),再化T为行最简形T0,则T0中任意r个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组.第7页（共6页）A=(1,2,3,4)=4152031210211201255021100220120110210110000200020000100001101201=T,所以R(A)=3.故R(1,2,3,4)=3.四、证明题：（10分）1、设向量组A：321,,线性无关，求证：212，3232，133线性无关.证明：设存在数321,,kkk，使0)3()32()2(133312211kkk成立。由0)3()32()2(133312211kkk得，0)33()22()(332221131kkkkkk。2分321,,aaa线性无关4分212，3232，133线性无关.2.已知向量组123,,aaa线性无关，1223132+2,+2,线性无关..证：因为122313123101,,2,,210022+2+20330220332131kkkkkk000321kkk第8页（共6页）2121011011221001216022022022rr＝因而向量组1223132+2,+2,线性无关.3.若向量组123,,线性无关，而1123，21232，312323，试证：123,,线性无关。证明：设存在常数123,,kkk，使得kkk1122330得()()()kkkkkkkkk1231123212333230由123,,线性无关得123123123020230kkkkkkkkk，由于它的系数行列式11111210123D由克莱姆法则，此方程只有零解kkk1230,因此123