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第十五讲牛吃草英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定.解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为1份；⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．一、计算草的生长速度与原有草量新草的生长速度和原草是求后面问题的必备条件，大家一定要熟练掌握.草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数例：有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，问每天新长多少草，草场原有多少草？【解析】设1头牛1天的吃草量为1份，那么12头牛吃25天一共吃了12×1×25=300(份)，24头牛吃10天一共吃了24×1×10=240(份)，251015天生长的草量为30024060(份)，所以每天生长的草量为60154(份/天)；原有草量为：300−25×4=200(份)．二、已知牛头数求天数例：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设1头牛1天的吃草量为1份，10头牛吃20天共吃了1020200(份)；15头牛吃10天共吃了1510150(份)．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050(份)草，这50份草是牧场的草201010(天)生长出来的，所以每天生长的草量为50105(份/天)，那么原有草量为：200520100(份)．求出这两个条件之后，后面有两种解法，一种是按前面的公式:吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)，另一种就是将牛分成吃新草的幸福牛和吃原草的倒霉牛，时间由倒霉牛决定.方法一：每天25头牛吃掉25份，但新长出的草补回来5份，每天实际上只减少25−5=20(份)，因此天数为：100÷(25−5)=5(天)方法二：供25头牛吃，每天新长出5份草，因此有5头幸福牛去吃每天生长的草，那么剩下25−5=20(头)倒霉牛，现在计算一下倒霉牛吃完原草的天数即可，需要100205(天)，即它可供25头牛吃5天．三、已知天数求牛头数例：一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设1头牛1天的吃草量为1份，58头牛吃7天共吃了587406(份)；50头牛吃9天共吃了509450(份)，每天新生长的草量为：(450406)(97)22(份/天)，原有草量为：450229252(份).求出这两个条件之后，后面有两种解法，方法一：先根据原草、新草生长速度、天数计算出总实际吃的总草量，再算牛头数。即6天的总草量为：252+22×6=384(份)，牛头数为：384÷6÷1=64(头).方法二：每天新长出22份草，因此有22头幸福牛去吃每天生长的草，倒霉牛需要在6天吃完252份原草，头数为252÷6÷1=42(头)，最后把二者相加即可，22+42=64(头).四、多种动物吃草解决这种问题关键在于找到各类动物吃草量之间的关系，然后转化为同一种动物求解，若题目已知了各类动物吃草量之间的关系，可以直接转化，若题目没有已知，那么要列出关于动物食草量的等式，在同等天数下比较其倍数关系.例：一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【解析】设1头牛1天的吃草量为1份，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为16202012201210(份/天)，原有草量为：16×20−10×20=120(份)．10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158(天)可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．五、多块草地牛吃草当草场面积不同时，可以将不同面积统一转化为同样面积的牧场来解决.例：一个农夫有面积为3公顷、1公顷的牧场，两块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，如果农夫将30头牛赶到3公顷的牧场，牛12天吃完了草；如果农夫将20头牛赶到1公顷的牧场，牛4天吃完了草，问几头牛10天可以吃完1公顷牧场的草？【解析】设1头牛1天的吃草量为1份，30头牛12天吃完3公顷的牧场，可转化为10头牛12天吃完1公顷的牧场，那么在1公顷的牧场每天生长的草量为10122041245(份/天)，原有草量为：10×12−5×12=60(份)，要在10天内吃完，需要60÷10+5=11(头).六、变形牛吃草变形的牛吃草问题实际上都是消长问题，关键是要找出对应的“原草”以及“新草生长速度”。例：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】在这道题中，船里的水相当于“牧场上的草”，在淘水前已经进的水就相当于“原草”，人淘水相当于“牛吃草”，淘水过程中匀速进入的水相当于“匀速生长的新草”.设1人1小时淘出的水量是1份，进水速度是(58103)(83)2(份/小时)，原有水量582824(份)，要求2小时淘完，要安排242214(人)淘水