SARS传播模型

SARS的传播摘要SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，SARS病毒侵害人体的多种呼吸细胞，对人体造成巨大伤害。建立数学模型来描述SARS病毒的传播过程，分析受感染人数变化规律，一直是我国有关专家关注的课题。首先，我们对模型一进行了合理性和实用性评价，对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验，得出该模型的优点在于形式简单，模拟的精确度较高，在SARS病毒流行初期至高峰期由于缺乏有效的措施，使得感染病的数量上升十分迅速，呈指数增长，模型一用一个较大的K值来反映。K的改变体现出了其合理性，但是它的主要缺点在于过分依赖数据，在不同地方K值是不同的。同时模型一不具有长远的预测性，在利用K值与本地早期数据预测时，就会造成很大的误差。对于问题（2）。在这里我采用SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据，维护人类健康与社会经济发展。关键字：SARS病毒；传染病；SIR模型；动力学模型。一．问题重述.............................................2二．问题分析.............................................2三．模型假设.............................................3四．符号说明.............................................4五．模型建立.............................................4六．模型求解.............................................5七．结果分析.............................................9八．模型一评价...........................................9九．模型的评价与改进....................................10参考文献：..............................................11附录：..................................................122一．问题重述2003年，SARS(严重急性呼吸道综合症，俗称非典性肺炎)，作为一种新型的爆发性疾病，席卷了我国，对我国经济发展和人民生活造成了巨大的影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。要求对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：1.对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。2，建立你们自己的模型，说明：（1）为什么优于附件1中的模型;（2）怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难之处（3）对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。二．问题分析传染病的传播是一个十分复杂的过程，它受多种社会因素和自然因素的制约和影响，如人的体质，接触到的人群的患病情况，气候、地理、土壤、动植物等对病毒传染的影响，生活条件、风俗习惯、卫生设施、医疗条件，传染病爆发后采取措施的效率，政府的重视程度等。在模型建立过程中，我们不可能考虑到所有影响因素，只能针对3较为重要的因素进行研究，并进行一些合理的假设，建立一个比较符合实际问题模型，使问题相对简单化，更利于理解和解决问题。在建立模型时，我们根据SARS的传播特点采用了传染病模型中的SIR模型，分析受感染人数的变化规律，预报传染病的高潮时间，得出控制传染病蔓延的方法。SARS的传播是由于患者在被确诊隔离之前与其他人的传染性接触而发生的，如果能及时采取有效的预防和控制措施，被感染的人数将大大减少。在模型建立中，主要考虑一个地区内治愈人群和患病人群之间的人口流动。三．模型假设（1）假设病人能使每天接触的人患病。（2）病人治愈后具有长期免疫力；（3）假设病人死因都是因为SARS病毒造成的。（4）在SARS病毒传染期内不考虑人口的出生，死亡，迁入，迁出。（5）确诊病人被隔离后可认为不再具有传染性；4四．符号说明数据名称某地区总人数符号某地区总人数N病人的比例i（t）健康人的比例s（t）治愈移出者的比例r（t）病人的日接触率λ日治愈率μ平均传染期1/μ传染期接触数ε＝λ／μ五．模型建立由于发病初期公众和政府对病情不太重视，所以我们无法找到这一阶段的具体数据，考虑到发病初期的模型与我们现在的实际情况不符，对我们分析和预测将来的疫情趋向没有太大的实际意义。此外，附件一中给出的模型较适合于发病初期病情变化趋势，所以对于初期的模型我们没有做太多的具体数值分析，只是给出了各个参数是如何得到的，而把重点放在了后期模型的建立上。后期模型建立：5在以上基本假设的前提下，健康者从患病到移出的过程图表示如下：由已知显然有：s(t)+i(t)+r(t)=1(1)对于治愈后的移出者的数量为：rtdNNid（2）不妨设发病初期的健康人群、患病者、治愈移出者的比例分别为S0（s00）,i0(i00),r0(r00).SIR基础模型用微分方程组表示如下：disiidtdssidtdridtS(t),i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t),i(t)的一般变化规律。六．模型求解数值计算在方程（3）中设1,0.3,00.22,00.98,is用MATLAB软件编程：functiony=ill(t,x)6a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2))pauseplot(x(:,2),x(:,1))输出的简明计算结果列入表1。i(t),s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减少,t→∞,s→0.0398.并分析i(t),s(t)的一般变化规律.t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.03987clearall;t=[01234567891015202530354045];i=[0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.32470.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010];plot(t,i);title('图1i(t)-t');xlabel('t');ylabel('感染者比例i(t)')05101520253035404500.050.10.150.20.250.30.35图1i(t)-tt感染者比例i(t)8clearall;t=[01234567891015202530354045];s=[0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.20270.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398];plot(t,s);title('图2s(t)-t');xlabel('t');ylabel('健康者比例s(t)');05101520253035404500.10.20.30.40.50.60.70.80.91图2s(t)-tt健康者比例s(t)9七．结果分析相轨线分析：我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线谈论解i(t),s(t)的性质。i~s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s，i）∈D为D={（s，i）|s=0,i=0,s+i=1}(4)在方程（3）中消去dt并注意到的定义，可得11,isdds00|ssii（5）所以：001111isisiissddddss（6）利用积分特性容易求出方程（5）的解为：0001lnsisiss（7）八．模型一评价首先，我们对附件一中提出的模型一进行评价。在模型一中就用较大的K值来反映。到达高峰期后，K值就会逐渐回落到一个很小的值。利用香港求出的K值和北京早期的数据拟和预测北京的高峰也是比较准确的。另一方面，模型一也具有一定的实用性。利用其他地区求出的K值与本地早期的数据可以预测出高峰发生的时间和病人数量。模型的预测结果与实际情况比较吻合，这样就可以及时准备医护人员及医疗设备，以避免高峰期医护人员与医疗设备的不足。10当然模型一也存在缺陷。K值难以确定和K值的变化难以把握，而且不同地方的K值是不同的，在利用K值与本地早期的数据预测时，就会造成很大的误差。利用香港求出的K值和北京早期的数据预测北京的高峰是3100，但是真实数据是2521，误差为23%。L也是模型的一个重要参数，而模型一简单把它固定在（20）这个值上，尽管L具有一定的统计意义，但是仍然缺乏说服力。九．模型的评价与改进1.模型的优点本文对模型一进行了改进，其中SARS传播的改进模型，利用已有的数据，能够较好的预测北京市SARS高峰时的感染人数，以及被感染病人的总数，得到的结果与实际数据拟合得非常好SARS的控制模型对各种控制措施的效果作了十分详尽的分析，并对采取了各种控制措施后的情况进行了比较，从而说明采取各种级别措施的效果。所提出的模型具有广泛的推广性。2.模型的不足与改进本文建立的模型都没有考虑SARS的疑似病例，并且在SARS病毒传染期内不考虑人口的出生，死亡，迁入，迁出等次要因素，这样必然会使最后的计算结果产生误差。在现实生活中，我们无法考虑所有的因素，只有通过模型的改进逐步加入次要的变量，11从而一步步接近真实的数据。参考文献：【1】谢金星等编，《数学模型第四版》高等教育出版社，2011【2】周义仓《SARS传播预测的数学模型》工程数学学报2003【3】徐文兵《SARS数学模型解的存在唯一性》应用泛函学报2004【4】胡运权《运筹学基础及应用》清华大学出版社2013【5】孙海等《基于SIR模型的流感防控模型》东华理工学报201412附录：1.MATLAB程序代码：（1）functiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2))pauseplot(x(:,2),x(:,1))（2）clearall;t=[01234567891015202530354045];i=[0.02000.03900.073