高等数学隐函数求导

第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)y（隐函数的显化）例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即的一阶导数确定的隐函数求由方程练习：二阶导数解:方程两边对x求导，得d2d2cosyxyd2()d2cosxy22sin(2cos)yyy22sin2(2cos)2cosyyy34sin(2cos)yy隐函数求高阶导数法1:由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导数的显式继续求导.法2:反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.例3解练习设由方程确定,解:方程两边对x求导,得0eyxyyy再求导,得2eyyyxy)(e02y②当0x时,,1y故由①得e1)0(y再代入②得2e1)0(y求①观察函数.,)4)(3()2)(1(sinxxyxxxxy方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导yy1xxlncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx求的导数.解:(coslnxxsin)xx)sinlncos(sinxxxxxyx又如,对x求导两边取对数二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成x是y的函数)关系,若上述参数方程中二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3tttttddd()dddyttxxtxdd)()(ddttxy)(tx且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例5解例6解所求切线方程为?例7.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xyddxy)(tft)(tf,tdd22xy1)(tf已知解:)()(tftfty练习:xydd;1t22ddxy21tt31t解:注意:对谁求导?x求22dd,.ddyyxx内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式1.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得33()fxy且存在，求23)dyydx3cos3x60dydx思考与练习2(3x332332cos3()()2xfxyxfxyy解解得作业P821(2)(3);2;4(2)(4);5(1)(2);6(2);8第五节求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导y思考题1.设,求解：方程组两边同时对t求导,得0ddtxy2.设练习题一、填空题：1、设01552223yxyyxx确定了y是x的函数，则)1,1(dxdy=________.2、曲线733xyyx在点（1，2）处的切线方程是___________.3、曲线ttyttxsincos在2pt处的法线方程________.4、已知teytexttsincos,则dxdy=______；3ptdxdy=______.5、设yxexy,则dxdy=________.二、求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd：1、；2、；3、yxxy)00(yx，.三、用对数求导法则求下列函数的导数：1、2xxy；2、54)1()3(2xxxy；3、xexxy1sin.四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1、tbytaxsincos；2、)()()(tftftytfx设)(tf存在且不为零.五、求由参数方程ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的二阶导数22dxyd.六、设)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf.练习题答案一、1、34；2、02311yx3、022ppyx；4、32,sincoscossintttt；5、yxyxexye.二、1、；2、-)(cot)(csc232yxyx；3、322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyy.三、1、)1ln2(12xxx；2、]1534)2(21[)1()3(254xxxxxx；3、])1(2cot1[1sin21xxxeexxexx.四、1、tab32sin；2、)(1tf.五、241tt.六、212x.