浅谈信号与系统教学中的实用案例

浅谈信号与系统教学中的实用案例东南大学信息科学与工程学院孟桥2014.4.13为什么需要案例？激发学生对课程的兴趣；加深学生对课程内容的理解；研讨性学习的有效手段；拓展学生思维的有效途径；增加课程的趣味性；有哪些案例？工科专业课程中，教学内容与实际课程密切结合，应该存在很多的实用案例；课程体系中的相关内容，往往来自于实际的的工程应用需求，所以，实用案例应该是很多的；实际上，绝大多数理论课程中的基本问题，也是来自于应用。但是时间一长，大家都会忘了案例的实际来由。案例的作用渐进式的教学方式：由浅入深；由点到面；由狭义到广义；由具象到抽象；实例说明的三个问题有什么用？什么有用？还有什么用？实例说明的三个问题有什么用？什么有用？还有什么用？有什么用？学生在学习的时候，最容易出现的问题是：这门课程（或者课程中的内容）有什么用？教学中引入很多应用实例，将增加他们的学习兴趣，提高学习的效果；更主要的，是通过实例，可以增进学生对相关问题的理解，启发他们的创造性思维；有什么用？（续）几乎所有的信号系统的教材中，都给出了很多实例；有些实例在正文中加以说明，有些则通过例题以及习题等方式给出；对于后种方式给出的实例，必须对学生进行适当的点拨；例1：宽带分压器电路（习题）有什么用？（续）有一些比较复杂、综合性更强的实例，对开拓学生的思维更加重要。例2：框图的用途在所有的教材中，框图都是作为一个数学描述工具来介绍的；但是实际上，这是早期出现的模拟计算机的原型；在电子技术尚未成熟的早期，模拟计算机的初期原型，是用机械系统实现的实际上现在依然可以见到这类“计算机”的应用，只不过我们不会将其看成是“计算机”上世纪初美国舰艇实用的火控模拟计算机：MK1computer机械式模拟计算机构成机械式模拟计算机的基本单元与电子计算机类似都有输入单元，运算单元，输出单元（执行单元）等部分，相互连接组成运算单元包括：加法器（减法器），标量乘法器，乘法器，积分器，微分器，正弦（余弦），执行器（系统输出）基本单元的构成与电子计算机不同齿轮，凸轮，连杆……例2：框图的用途（续）电子技术的出现，对这种模拟计算机的发展产生而来极大的促进；实际工程中，有很多实际的电路可以实现接近理想的框图基本构成单元，例如加法器，乘法器，积分器等；问题：还记得这些电路的基本形式吗？如果将这些电单元按照框图指出的途径相连接，就可以“构成”一个目标系统对于电子系统而言，这些“器件”的构造以及连接都非常方便纽马克模拟计算机（1960年）由五个单元构成用来解决微分方程，目前已安置在剑桥科技博物馆一个可以通过“连接”进行任务设置的小型模拟计算机有点像现在matlab中的simulink例2：框图的用途（续）通过这个例子能够告诉学生什么？框图可以做什么——扩大学生对框图的认识不仅仅是一个数学表达，更是一个系统实现途径；模拟计算机的存在——扩大学生对计算机的认识不仅有数字计算机，更有模拟计算机；不仅有电计算机，更有机械（甚至光、化学等）计算机；将来还会有量子计算机……感受到电系统给计算机技术以及其他相关技术带来的促进感受各门课程知识之间的融合（例如与电路与电子线路方面知识的融合）例3：反馈系统稳定性与帕金森在研究线性系统稳定性的时候引出同样将相关的概念从电系统扩展到其他系统问题的引出：什么是3C——CCCChinaCompulsoryCertification？No华为荣耀3C？No那是什么？计算机，通信，控制论——推动上世纪技术发展的三大动力——现在也是其中的“控制论”，英文是什么？例3：反馈系统稳定性与帕金森Cybernetics《控制论：或关于在动物和机器中控制和通讯的科学》——Wiener,N.，MIT，1948是自动控制、传播学、电子技术、无线电通讯、神经生理学、心理学、医学、数学逻辑、计算机技术和统计力学等多种学科相互渗透的产物一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，更具体他说，是研究动态系统在变化的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学例3：反馈系统稳定性与帕金森反馈系统不仅在机械、电子等系统中存在，在自然、社会、经济、动物界等广泛存在汽车驾驶的例子走钢丝或者独木桥的例子维纳的考虑：系统存在反馈过度而造成的不稳定的例子，在人类身上也应该有类似的病症帕金森综合症例3：反馈系统稳定性与帕金森扩展阅读：维纳《控制论》给学生的提示：反馈系统稳定性普遍存在；科学研究结果往往来源于多学科的融合；丰富的研讨活动是科学发展的推进剂；进一步的思路扩展：从《控制论》中，看计算机的发明维纳在二十世纪四十年代对计算机设计的建议：维纳的研究兴趣之一，是用于求解微分方程的装置（模拟计算机）他在《控制论》一书中，谈及了他对计算机提出的一些建议：在计算机的中心部分，加法和乘法装饰应该是数字式的——数字计算机的雏形开关装置的部件应该有电子管完成，而不要有齿轮机或者继电器来做，保证有更快的动作——高速电子数字计算机的雏形维纳在二十世纪四十年代对计算机设计的建议：根据贝尔研究所的方案，加法和乘法采用二进制比采用十进制方便——二进制数字表征的雏形；全部运算序列要在机器上自动运行，从把数据放进机器的时候起，到最后将结果拿出来为止，中间应该没有人为干预，为此做出的一些逻辑判断都必须有机器自身作出——程序的雏形机器中要包含一种用于存储数据的装置，这个装置要能够迅速地将数据记录下来，并且牢固地保存住，直到人工清除掉为止。而且建立和清除的速度要快，而且清除掉以后立刻能够用于存储新的数据。——RAM的雏形实例说明的三个问题有什么用？什么有用？还有什么用？什么有用？什么方面的知识对我们的课程有用？对于学生“这些知识有什么用”的另外一种间接的回答方式，使让他们认识到以往的知识，对我们的课程有什么用；也许他们在学习那些知识的时候，也存在相似的问题；也许当时，老师也很难说清楚那些知识的用途；但是通过这门课程的学习，可以了解那些知识的用途；所以，我们的课程本身也是其它课程的应用实例。什么有用？例如：连续系统的时域分析过程可以是中学代数的应用实例：有理分式，因式分解，部分分式分解……微积分的应用实例：定积分，变上限积分，微分，广义积分，……电路分析的应用实例：建立数学模型什么有用？例如：傅利叶变换分析法可以是中学数学的应用实例：三角函数，复数计算，欧拉函数，解析几何，……微积分的应用实例：微积分，广义积分，……电路分析的应用实例：正弦稳态分析；什么有用？例如：拉普拉斯、Z反变换可以是中学代数的应用实例：因式分解，部分分式分解；复变函数的应用实例：解析函数，围线积分，留数定理；教学中，恰当地提示以外知识的应用，一方面可以让学生回忆起相关的课程的内容，促进课程知识之间的融会贯通；另一方面也可以提高学生的学习的兴趣和目标。实例说明的三个问题有什么用？什么有用？还有什么用？还有什么用？课程实例不仅应该包含相关教学内容的应用实例，还应该还包括一些对学生的思维方式由启迪的实例，启发学生的创新性思维。实际上这种例子在课程中也可以找到很多。“科学发现发现三大定律”“科学发现发现三大定律”专家说“对”的事情，往往是对的；专家说“错”的事情，未必是错的；如果一件事，从正面无法解决，不妨从反面看看三条各有各自的含义。在这个课程中也能够找到一些实例例4：傅里叶变换的提出其实古巴比伦科学家就用了三角函数的和逼近的方法，对天体运动的观测和预报1748年，欧拉用类似的方法分析弦的震动；1753年Bernoulli提出从物理上，任意的物理弦的运动都可以表达为三角函数的和——但是他没有证明；但Lagrange凭直觉反对这个看法，认为只是个别的特例可以这么做；例4：傅里叶变换的提出1807年，傅里叶提出了著名的傅里叶变换。审稿的四个数学家中，三个同意发表，但是第四个——Lagrange——坚持他50年前的观点，该论文的发表由此被搁浅；1822年，傅里叶变换随其著作《热的解析》发表——但这已经是15年以后了；通过这个例子，告诉学生要敢于有创新精神；科学研究贵在坚持；例4：傅里叶变换的提出必须注意到：拉格朗日的的直觉还是对的，这个变换确实不完美，存在反例这就是吉布斯现象；但是这种反例并不影响其应用，因为在实际工程中不会遇到；1829年，狄里赫利通过推导其适用范围，完善了这个变换提示：对专家的意见也不能盲目地否定。专家的存在可以使得理论更加完善；奥利弗·赫维赛德英国自学成才的物理学家。16岁离校谋生，成为电报员。——按照现在的概念，他应该算是一个“民间科学家”1880年，将麦克斯韦方程组重新表述，由四元数改为矢量，将原来20条方程减到4条微分方程。例5：Heaviside微分算子1880年至1887年间，他提出了运算微积分（微分算子D便是这时引入）——一套将微分方程转换为普通代数方程的方法。这个方法被广泛用于本课程中的连续系统时域分析法数学家批评这个方法不够严谨,但是因为这种方法确实有效，无法驳倒“也许有例外？”例5：Heaviside微分算子后来人们在70年前法国数学家拉普拉斯的一本有关概率论的著作上，找到了这种算法的根据但是这本书上提出的并不是现在我们看到的拉普拉斯变换，而是著名的Z变换！拉普拉斯变换并不是拉普拉斯提出的？例5：Heaviside微分算子随着二战后拉普拉斯变换的广泛使用，Heavidide算子的作用被弱化了。但是不可否认的是，正是由于这种“不正规”的方法的运用，促成了现在的拉普拉斯分析法提示：保持一个开发的心态，不要轻易扼杀新生事物；创新来自于实践需求；例5：Heaviside微分算子“Mathematicsisanexperimentalscience,anddefinitionsdonotcomefirst,butlateron”----OliverHeaviside“科学发现发现三大定律”专家说“对”的事情，往往是对的；专家说“错”的事情，未必是错的；如果一件事，从正面无法解决，不妨从反面看看第三条如何用？例6：是真的吗？1.4试判断下列论断是否正确。(1)两个周期信号之和必仍为周期信号(2)非周期信号一定是能量信号(3)能量信号一定是非周期信号(4)两个功率信号之和必仍为功率信号(5)两个功率信号之积必仍为功率信号(6)能量信号与功率信号之积必为能量信号例7：数学化的思维一个著名的数学家的问题（上世纪60年代）问题1：在厨房里，有一个水池（自来水），一盒火柴，一个煤气灶，一个水壶。如何获得一壶开水？例7：数学化的思维一个著名的数学家的问题（续）：修改一下条件：问题2：在厨房里，有一个水池（自来水），一盒火柴，一个煤气灶，一个装满清水的水壶。如何获得一壶开水？例7：数学化的思维“将水壶中的水倒掉，然后按照第一个问题的方法解决！”——数学家的思路这种思维方式普遍用于数学推导。在信号与系统课程中，就有一个与之相关的非常典型的例子：系统稳定性判别准则。例7：数学化的思维几乎所有的教材都会从连续时间系统的稳定性判别准则开始介绍，自然会涉及到罗斯-霍维斯准则；如何对离散时间系统的稳定性进行判别呢？可以用朱莉准则——但是需要学生再记住一个新的法则可以继续利用罗斯-霍维斯法则，但是要进行一些变化。如何“要将水壶中的水倒掉”？——双线性变换后记所有的理论，都是为实践服务的。所以在工科课程教学中，丰富的实例是一个必不可少；实例的使用，不但可以加深学生对内容的理解，而且也可以开拓学生的思路，培养创新性思维，使得我们的人才培养目标更加符合社会发展的需求。欢迎批评指正！谢谢！联系地址：[e-mail]