第2讲：概率论基础知识及应用

概率知识应用（案例）—彩票中的数学—指纹是否唯一—乒乓赛问题—报童的决窍概率论基础知识概述—事件的概率—随机变量及其分布—数学期望及方差概率论基础知识概述—事件的概率—随机变量及其分布—数学期望及方差序言人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以及其他社会问题中，通常总是通过调查或对社会现象的观察来获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通过科学实验或对自然现象的观察来获取所需要的资料。对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统计学中都统称为试验。现象确定现象随机现象——相同条件下，结果总是相同——相同条件下，结果不总是相同一、概率论基础知识概述（1）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个；（2）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知.随机试验（1）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；（2）在一批产品中任意抽取一件进行检验；（3）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；（4）对某产品进行的寿命.【举例】1.1随机事件及其概率一、概率论基础知识概述随机事件及相关概念随机事件——随机试验的结果称为随机事件.基本事件——试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点.复合事件——由多个基本事件构成的集合.基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母A，B，C，…表示.样本空间——由试验E所有样本点组成的集合，常用字母S表示.必然事件——每次试验中必然发生的事件；样本空间S是必然事件.不可能事件——试验中不可能发生的事件，记为.——样本空间的任何子集.1.1随机事件及其概率一、概率论基础知识概述【举例】SA1={出现偶数点}A2={小于4的点}A4={大于6的点}A3={不超过6的点}【例1】投一个均匀的骰子，观察出现的点数，则有下列事件：【例2】在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进行检验，分别记为T、F为抽到正品和次品，则：S=A1={第一次抽到的是正品}A2={抽到一个正品}A3={两次抽到的质量相同}一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率事件的关系和运算一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率1.1随机事件及其概率例如：•新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销；•购买彩票中奖的可能性；•项目投资后赢利或亏损的可能性等等；事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常密切的关系。在日常生活和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。事件的概率一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率对于随机事件A，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件A发生的次数nA与试验次数n之比将在某个确定的值附近波动。频率及其稳定性事件A发生的次数nA与试验次数n之比就称为事件A发生的频率，记为fn(A)，即一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率人们发现，随着重复试验次数的增多，事件A发生的频率fn(A)就逐渐稳定地趋近于某个常数P(A)附近，这一客观存在的常数P(A)就称为事件A的概率。【著名的掷币试验】一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。主观概率一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率古典概率称满足以下条件的试验为古典概型：⑴试验的样本空间仅有有限个基本事件；⑵试验中每一基本事件发生的概率相等。【古典概型】若试验的样本空间S包含了n个样本点，事件A包含了其中的k个，则事件A发生的概率为：【古典概率】一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率【例4】在100件产品中有5件是次品，从中任取10件，求以下事件的概率：⑴A={全为正品}⑵B={恰有1件次品}⑶C={至少有3件次品}⑷D={至少有1件次品}P(B)=C15C995C10100=0.3394P(A)=1095C=0.583810100/C解：)(CP79535(CC=0.0066CC69545)59555CCC/10100)(DP)(AP)(-1AP0.5838-10.4162一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率条件概率与乘法公式设A、B是两个事件，且P(A)0，称在A已发生的条件下B发生的概率，为B对A的条件概率，记为P(B|A).【计算式】【例5】产品抽样检验问题已知10件产品中有3件是次品，从中先后抽取2件，作不放回抽样。求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。（乘法公式）【定义】一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率全概率公式A1…A5称之为一个完备事件组，或样本的一个划分A2A5A4A1A3SB11()()()()nnkkkkkPBPBAPAPBA应用：知因求果一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率贝叶斯公式贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应用！1()()()()()()()kkkknjjjPBAPAPABPABPBPBAPA应用：知果寻因一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率【例6】某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率是多大呢？解：设A=该考生答对了，B=该考生知道正确答案依题意有P(B)=1/2，P(B)=1/2，P(A|B)=1/4，P(A|B)=18.04121121121)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP再由贝叶斯公式，得：【公式的应用举例】于是由全概率公式，有：P(B)=一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率【例7】伊索寓言故事—”狼来了“。一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他大喊：狼来了，结果山下的村民都上山打狼，结果狼没来；第二天，仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊，没人来救他。为什么？分析：村民的对小孩的可信度是如何下降的？A记“小孩说谎”，—B“小孩—可信”，()0.8PB假设，()0.1,PAB()0.5.PAB那么在小孩说谎一次之后，村民相信他的概率为()()()PABPBAPA()()()()()()PBPABPBPABPBPAB0.80.10.80.10.20.50.444建模解释：小孩第二次撒谎，则以替换()0.444PBA＝()0.8PB()PBA＝0.138.代入公式后可计算得小孩第二次撒谎后的可信度为：【应用】（1）银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他.（2）医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明.一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率层次分析的一般方法---层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验概率知识应用（案例）—彩票中的数学—指纹是否唯一—乒乓赛问题—报童的决窍概率论基础知识概述—事件的概率—随机变量及其分布—数学期望及方差任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。【如】1、投掷两枚硬币出现正面的数量用X表示出现正面的数量，则X的取值为X=0、1、2随机变量的概念2、在灯泡寿命试验中令X为“灯泡寿命”(小时)，则X≥0{X500}，{X≤1000}，{800X≤1200}等表示了不同的随机事件。一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布设X是一随机变量，x是任意实数，称函数F(x)=P{X≤x}为X的分布函数。【定义】对任意实数x1x2，有P{x１Ｘ≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1=F(x2)-F(x1)【注】一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布【如】几个离散型变量的例随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来随机变量离散型随机变量连续型随机变量离散型随机变量一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布分布列（律）列出随机变量X的所有可能取值；列出变量X取各可能值的概率。表示方法1——列表法表示方法1——解析法P(X=xi)=pi，i=1,2,3，…分布列（分布律）一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布常见的离散型分布两点分布如果随机变量X只取两个值（特别地规定取0和1），则称X服从两点分布或0-1分布，其分布列为：qpXPpXP1)0()1()10()(1pqpxXPxx或记为X~B(1，P)一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布伯努利试验将只有两个可能结果的试验，称之为一次”伯努利试验“【如】E1：投一次篮，观察命中情况E2：买一次奖票，观察中奖情况【问】投掷一均匀硬币，观察正反面。这个试验可否视为一次伯努利试验？【推广】将伯努利试验在相同条件下重复n次，则称之为n重伯努利试验。一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布二项分布其分布列为一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布泊松分布若X的分布列为则称X服从参数为的泊松分布，记为【应用】用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内某一事件出现次数的分布。一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布连续型随机变量•变量X可以取一个或多个区间中任何值；•变量X所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点；定义一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布对连续型随机变量X，如果存在非负可积函数ƒ(x)，使得对任意实数x，有xdttfxF)()(则称ƒ(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。【密度函数定义】【密度函数的性质】X的分布函数F(x)的值，以及X落在区间(x1,x2]上的概率，就是相应区间上概率密度曲线下的面积。一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布正态分布exxf222)(21)(【一般正态分布】若随机变量X的密度函数为其中,为常数，且0，则称X服从参数为,的正态分布，记为X∼N(，2)。xf(x)0=0.5=1=20f(x)x12一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布【标准正态分布】称=0，=1的正态分布为标准正态分布，记为X～N(0,1)，其密度函数和分布函数分别记为(x)和(x)。0a-a(-a)1-(a)(x)x(a)正态分布表给出的是标准正态分布的分布函数的值(x)。查正态分布表时常要用到以下关系：①P{X≤a}=(a)②P{Xa}=1-(a)③P{aX≤b}=(b)-(a)④(-a)=1-(a)【正态分布表的使用】一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布【一般正态的标准化】设X∼N(,2)，则XZ)1,0(N～一、概率论基础知识概述1.2随机变量及其分布层次分析的一般方法---层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验概率知识应用（案例）—彩票中的数学—指纹是否唯一—乒乓赛问题—报童的诀窍概率论基础知识概述—事件的概率—随机变量及其分布—数学期望及方差【引例】“赌博问题”法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100元,共200元，并约定谁先赢满5局，谁取得全部200元，由于出现意外情况，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？按1:1分？或者其他分法？按4:3分？【分析】最多两局便可分出胜负,其情况有以下四种:因此,A能“期望”得到的数目应为:32004),(150元而B能“期望”得到的数目为：12004).(50元一、概率论基础知识概述1.3数学期望及方差数学期望【离散型时的定义】设X为离散型随机变量，其分布列为：,2,1,)(kpxXPkk1)(kkkpxXE则称为X的数学期望（或期望）【连续型时的定义】设X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)