高一数学函数的对称性和周期性精讲

---1---高一数学：关于函数的对称性一．单个函数的对称性1．)()(xbfxaf函数)(xfy的图象关于2bax呈轴对称.（此为结论，请记住！）说明1：看图像，发现xa与xb的中间值为22baxbxa，且两个函数值)()(xbfxaf相等，故函数)(xfy的图象关于2bax呈轴对称.反之亦然！说明2：用ax代替x，得到)())(()(xbafaxbfxf考察图像上的任一点))(,(00xfx，其关于2bax的对称点为))(,(00xfxba因为)()(00xbafxf，故点))(,())(,(0000xbafxbaxfxba也在图像上，即函数)(xfy的图象关于2bax呈轴对称注：高一阶段，看了以上两种说明，还不如不看，请直接记住这个结论，能看出对称轴即可！举例：已知)1()1(xfxf，求)(xfy的对称轴？解：因为12)1(1xx，故)(xfy的对称轴为.1x2.函数)(axfy是偶函数)()(xafxaf函数)(xfy的图象关于ax对称)2()(xafxf举例：已知)1(xfy为偶函数，求)(xfy的对称轴？解：令)1()(xfxg，则)(xg为偶函数，故)()(xgxg，由)1()(xfxg，可得)1()1(xfxf，故)(xfy的对称轴为.1x3．0)()(xbfxaf函数)(xfy的图象关于点)0,2(ba呈中心对称.说明1：看图像，发现xa与xb的中间值为22baxbxa，且两个函数值)()(xbfxaf互为相反数，故函数)(xfy的图象关于点)0,2(ba呈中心对称.反之亦然！说明2：用ax代替x，得到0)()())(()(xbafxfaxbfxf，即)()(xbafxf考察图像上的任一点))(,(00xfx，其关于点)0,2(ba的对称点为))(,(00xfxba因为)()(00xbafxf，故点))(,())(,(0000xbafxbaxfxba也在图像上，即函数)(xfy的图象关于点)0,2(ba呈中心对称.注：高一阶段，看了以上两种说明，还不如不看，请直接记住这个结论，能看出对称中心即可！---2---举例：已知)1()1(xfxf，求)(xfy的对称中心？解：因为12)1(1xx，且0)1()1(xfxf，故)(xfy的对称中心为)0,1(.4.函数)(axfy是奇函数)()(xafxaf函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称)2()(xafxf举例：已知)1(xfy为奇函数，求)(xfy的对称中心？解：令)1()(xfxg，则)(xg为奇函数，故0)()(xgxg，即0)1()1()()(xfxfxgxg，故)(xfy的对称中心为)0,1(.5.cxbfxaf)()(函数)(xfy的图象关于点)2,2(cba呈中心对称.说明1：看图像，发现xa与xb的中间值为22baxbxa，且两个函数值cxbfxaf)()(，其和为c，即两个函数值的中间值为2c，故函数)(xfy的图象关于点)2,2(cba呈中心对称.反之亦然！说明2：用ax代替x，得到cxbafxfaxbfxf)()())(()(，即)()(xbafxfc，考察图像上的任一点))(,(00xfx，其关于点)2,2(cba的对称点为))(,(00xfcxba，因为)()(00xbafxfc，故点))(,())(,(0000xbafxbaxfcxba也在图像上，即函数)(xfy的图象关于点)2,2(cba呈中心对称.注：高一阶段，看了以上两种说明，还不如不看，请直接记住这个结论，能看出对称中心即可！举例：已知)1(2)1(xfxf，求)(xfy的对称中心？解：因为12)1(1xx，且12)1()1(xfxf，故)(xfy的对称中心为)1,1(.6.函数baxfy)(是奇函数])([)(bxafbxafbxafxaf2)()(函数)(xfy的图象关于点),(ba对称)2(2)(xafbxf举例：已知1)1(xfy为奇函数，求)(xfy的对称中心？解：令1)1()(xfxg，则)(xg为奇函数，故0)()(xgxg，即01)1(1)1()()(xfxfxgxg，即2)1()1(xfxf，故)(xfy的对称中心为)1,1(.二．两个函数的对称性（高一现阶段暂时不说！）---3---高一数学：关于函数的周期性一．周期函数的定义：函数)(xf在其定义域内，对任意的x都存在一个常数)0(TT，使得)()(xfTxf成立，则称函数)(xf是周期函数，T叫做函数)(xf的一个周期.（注：以后T专指最小正周期）设T是函数)(xf的一个周期，则)0,(kZkkT也是函数)(xf的周期.问1：有没有一个函数是周期函数，但是没有最小正周期？答：有，常数函数就是！问2：一个周期函数的最小正周期与其他周期什么关系？答：如果一个函数存在最小正周期，那么其他的周期必是最小正周期的非零整数倍！问3：在ba的时候，)()(xbfxaf和)()(xbfxaf分别表示什么？答：)()(xbfxaf表示)(xf的对称轴为2bax；而)()(xbfxaf表示)(xf的周期为.||baT二．常见结论（注：此处T专指最小正周期，且默认0a）（1）若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfaxf，则||2aT.推广：若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfmaxf，则||2aT.（当0m时，即（1））证明：用ax代替)()(xfmaxf中的x，得到)()2(axfmaxf；于是)()2(axfmaxf)()]([xfxfmm，得证.（当0m时，即（1）的证明！）举例1：已知)3()1(xfxf，求)(xfy的周期？解：因为4)1(3xx，故)(xfy的周期为4T.举例2：已知)3()1(xfxf，求)(xfy的周期？解：用1x代替x，得到)4()(xfxf（1）用4x代替x代入（1），得到)8()4(xfxf（1）由（1）（2）得：)8())8(()4()(xfxfxfxf，故)(xfy的周期为8T.举例3：已知)3(2017)1(xfxf，求)(xfy的周期？解：用1x代替x，得到)4(2017)(xfxf（1）用4x代替x代入（1），得到)8(2017)4(xfxf（1）由（1）（2）得：)8())8(2017(2017)4(2017)(xfxfxfxf，故)(xfy的周期为8T.（2）若)(xf对定义域内的任意x都有)(1)(xfaxf，则||2aT.（3）若)(xf对定义域内的任意x都有)(1)(xfaxf，则||2aT.---4---推广：若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfmaxf)0(m，则||2aT.证明：用ax代替)()(xfmaxf中的x，得到)()2(axfmaxf；于是)()()()2(xfxfmmaxfmaxf，得证.举例1：已知)3(2)1(xfxf，求)(xfy的周期？解：用1x代替x，得到)4(2)(xfxf（1），用4x代替x代入（1），得到)8(2)4(xfxf（2）由（1）（2）得：)8()9(22)4(2)(xfxfxfxf，故)(xfy的周期为8T.举例2：已知)3(2017)1(xfxf，求)(xfy的周期？解：用1x代替x，得到)2(2017)(xfxf（1），用2x代替x代入（1），得到)4(2017)2(xfxf（2）由（1）（2）得：)4()4(20172017)2(2017)(xfxfxfxf，故)(xfy的周期为4T.举例3：已知)3(13)1(xfxf，求)(xfy的周期？解：令tx3，则21tx，得到)(13)2(tftf（1）；用2t代替t代入（1），得到)2(13)4(tftf（2）由（1）（2）得：)()(1313)2(13)4(tftftftf，故)(xfy的周期为4T.注：以上（1）（2）（3）都为半周期表达式，最好一眼看出半周期为多少，从而得到周期！注：思考的方式很灵活，比如)()2()2()()2()(xfxfxfxfxfxf)()2(xfxf)1()1(xfxf)1()1(xfxf)2015()2017(xfxf说明的都是同一本质，即)(xfy的周期为2T，（包括)2()(mxfmxf也是说明这一点）.---5---（4）若)(xf的图象关于,ax且同时关于)(babx对称，则||2baT.证明：)22())2(2()2()(abxfxabfxafxf，得证.举例：已知)1(xf与)1(xf都是偶函数，求证：)2017(xf，)2017(xf也都是偶函数？证明：)1(xf是偶函数，说明：)(xfy的一条对称轴为1x；)1(xf是偶函数，说明：)(xfy的一条对称轴为1x；故)(xfy的周期为4，故)1()2017(xfxf，)1()2017(xfxf即)2017(xf，)2017(xf也都是偶函数.注：可以得到)12(nxfy（其中Zn）都是偶函数.（5）若)(xf的图象关于),0,(a且同时关于))(0,(bab对称，则||2baT.推广：若)(xf的图象关于),,(ma且同时关于))(,(bamb对称，则||2baT.证明：)22()]2(2(2[2)2(2)(abxfxabfmmxafmxf，得证.举例：已知)1(xf与)1(xf都是奇函数，求证：)2017(xf，)2017(xf也都是奇函数？证明：)1(xf是奇函数，说明：)(xfy的一个对称中心为)0,1(；)1(xf是奇函数，说明：)(xfy的一个对称中心为)0,1(；故)(xfy的周期为4，故)1()2017(xfxf，)1()2017(xfxf即)2017(xf，)2017(xf也都是奇函数.注：可以得到)12(nxfy（其中Zn）都是奇函数.举例：已知1)1(xf与1)1(xf都是奇函数，求证：1)2017(xf，1)2017(xf也都是奇函数？证明：1)1(xf是奇函数，说明：)(xfy的一个对称中心为)1,1(；1)1(xf是奇函数，说明：)(xfy的一个对称中心为)1,1(；故)(xfy的周期为4，故1)1(1)2017(xfxf，1)1(1)2017(xfxf即1)2017(xf，1)2017(xf也都是奇函数.注：可以得到1)12(nxfy（其中Zn）都是奇函数.（6）若)(xf的图象关于),0,(a且同时关于)(babx对称，则||4baT.推广：若)(xf的图象关于),,(ma且同时关于)(babx对称，则||4baT.证明：)22(2))2(2(2)2(2)(abxfmxabfmxafmxf