高一数学重点知识新授-函数周期性与对称性-新课标

函数的性质——周期性、对称性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．周期性定义：f(x＋T)＝f(x)存在一个最小说明：（1）T必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说,必须对定义域内的任意都成立。（3）nT也是函数的周期性质：（1）若函数满足则函数必有一个周期为2A。(A)()fxfx()yfx)()(xbfaxf（2）若函数满足则函数必有一个周期为。()yfxTab()()()()xxafxaafxabfxfxbaTab证明：令（3）若函数满足则函数必有一个周期为。()yfx()()cfxafx2Ta()()()()=(2)()2cxxafxaafxacfxfxfxafxaTa证明：令由原式得到：（4）若函数满足则函数必有一个周期为。()yfx2Ta1()()1()1()11()(+2)1()11()(1())(1())2()()()=(2)1()1()22fxaxxafxaafxafxfxfxafxfxfxfxfxfxfxfxafxfxTa证明：令将原式得带入：)(1)(1)(xfxfaxf（5）若函数满足则函数必有一个周期为。()yfx4Ta1()()1()1()11()(+2)1()11()(1())(1())211(2)1()1()2()()()4(2fxaxxafxaafxafxfxfxafxfxfxfxfxafxfxfxfxfxTa证明：令将原式得带入：性质）1()()1()fxfxafx（6）若函数满足则函数必有一个周期为。()yfx4Ta1)(1)(xfaxf（7）若函数满足则函数必有一个周期为。()yfx6Ta)()()2(xfaxfaxf关于直线对称函数：对于函数y＝f(x)，如果存在函数关于直线x=a对称，根据对称性，有对称性定义：()()fxafax关于点对称函数：对于函数y＝f(x)，如果存在函数关于点（a,c/2)对称，根据对称性，有()()faxfaxc(2)()faxfxc也可以写成性质：（1）若函数满足则函数关于x=a对称。()(2)fxfax()yfx()(2())()()xxafxafaxafxafaxxa证明：令函数关于对称（2）+2(+)((+))22(+)()222baxxbabafaxfbxababfxfxabx证明：令函数关于对称（3）（4）周期性与对称性性质（1）()()()()()(2)()(2)(2)(2)2fxafaxfxbfbxfxfaxfxfbxfaxfbxTba证明：由对称性得到：（周期性性质2）2Tba（2）（3）奇偶性与对称性性质（1）()()()(2)()(2)()(2+)4fxfxfxfaxfxfaxfxfaxTa证明：由奇函数及对称性得到：，（周期性性质1）（2）()()()(2)()(2)()(2+)2fxfxfxfaxfxfaxfxfaxTa证明：由偶函数及对称性得到：，1．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(72)＝.解析：f(72)＝f(72－2)＝f(32)＝f(32－2)＝f(－12)＝f(12)＝2×12－1＝0.A．－1B．1C．－2D．2解析由于f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)．又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，即f(3)－f(4)＝－1.答案A1．(2013·上饶模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()．4．(2012·浙江)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f32＝________.解析当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝1－x.∵f(x)在R上的周期为2，∴f32＝f32－2＝f－12＝1－－12＝32.答案323.(2012·山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012B解析：由f(x)＝f(x＋6)知函数f(x)的周期为6，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝335[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝335×1＋3＝338.A．－2B．2C．－98D．98解析∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案A【训练3】(2013·榆林质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()．4．(改编)设函数y＝f(x)(x∈R的图象关于直线x＝1对称，且x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则f(32)＝()A.12B.14C.34D.94B解析：因为函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝1对称，所以f(32)＝f(1＋12)＝f(1－12)＝f(12)，故选B.【拓展演练3】设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2.(1)判断函数f(x)是否是周期函数；(2)求f(5.5)的值．解析：(1)fx＝f2－xfx＝f－x⇒f(－x)＝f(2－x)⇒f(x)＝f(x＋2)⇒f(x)是周期为2的周期函数．(2)f(5.5)＝f(2×3－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝0.25.三函数的周期性及应用【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．解析：(1)证明：因为y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)．因为f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)因为x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.设x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，又f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x)＝f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2＝2x－8＋x2－8x＋16＝x2－6x＋8.即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)由x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，可得f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，又x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8，可得f(3)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，而f(x＋4)＝f(x)，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]×503＋f(0)＋f(1)＝1.