第一章§1.1.3导数的几何意义

随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练§1.1.3导数的几何意义随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练学习目标重点和难点是导数的几何意义；曲线y=f(x)在处的切线斜率等于f(x)在处的导数00(,())xfx0x0()fx随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练基础知识梳理导数的几何意义1．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是_______________________________________，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为_______________________曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练2．如果把y＝f(x)看作是物体的运动方程，那么，导数f′(x0)表示_____________________________，这就是导数的物理意义．运动物体在时刻x0的瞬时速度随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．(1)limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx；(2)limh→0fx0＋h－fx0－h2h.课堂互动讲练题型一导数定义的应用例1随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练【分析】在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择相对应的形式．利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形，转化为导数定义的结构形式．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练【解】(1)原式＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－－Δx＝－lim－Δx→0fx0－Δx－fx0－Δx(Δx→0时，－Δx→0)＝－f′(x0)．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练(2)原式＝limh→0fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－h2h＝12limh→0fx0＋h－fx0h＋limh→0fx0－h－fx0－h＝12f′x0＋lim－h→0fx0－h－fx0－h＝12[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练【点评】概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因，解决这类问题的关键就是等价变形．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练1．函数f(x)在x＝a处可导，则limh→0fa＋3h－fa－h2h的值为()A．f′(a)B.12f′(a)C．4f′(a)D．2f′(a)跟踪训练随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练解析：选D.limh→0fa＋3h－fa－h2h＝limh→0fa＋3h－fa＋fa－fa－h2h＝limh→0fa＋3h－fa3h·32＋fa－h－fa－h·12＝32·f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练已知曲线y＝13x3上一点P2，83，如图，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．题型二利用导数求切线方程例2随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练【解】(1)∵y＝13x3，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013x＋Δx3－13x3Δx【分析】根据导数的几何意义知，函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练＝13limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝13limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，y′|x＝2＝22＝4.∴点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练【点评】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点P处的切线，点P必为切点随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练2．已知曲线y＝12x2－2上一点P1，－32，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案：B跟踪训练随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求P点的坐标及切线方程．题型三利用导数求切点坐标例3【分析】解答本题可先设切点坐标，再利用切线斜率及切点在抛物线上列方程组求解．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练【解】设点P(x0，y0)．由y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→02x·Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，得y′|x＝x0＝2x0.随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练又由切线与直线2x－y＋4＝0平行，得2x0＝2，x0＝1.∵P(1，y0)在y＝x2上，∴y0＝1.∴点P的坐标为(1,1)，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.【点评】解决切线问题的关键是求出切点坐标．求切点坐标往往利用切点既在曲线上，又在切线上，及切点处的导数值即为切线斜率这些条件来构造方程组求解．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练3．在曲线y＝4x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线满足下列条件．(1)平行于直线y＝x＋1；(2)垂直于直线2x－16y＋1＝0；(3)倾斜角为135°.跟踪训练随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练解：设点P坐标为(x0，y0)，则Δy＝4x0＋Δx2－4x20＝4x20－4x0＋Δx2x20x0＋Δx2＝－8x0Δx－4Δx2x20x0＋Δx2，∴ΔyΔx＝－8x0－4Δxx20x0＋Δx2，随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练∴当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－8x0x40＝－8x30，即f′(x0)＝－8x30.(1)∵切线与直线y＝x＋1平行，∴由导数几何意义知f′(x0)＝1，即－8x30＝1，∴x0＝－2，y0＝1，即P(－2,1)．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练(2)∵切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，∴有f′(x0)·216＝－1，∴－8x30·18＝－1，∴x0＝1，y0＝4，即P(1,4)．(3)∵切线倾斜角为135°，∴f′(x0)＝tan135°＝－1，∴－8x30＝－1，∴x0＝2，y0＝1，即P(2,1)．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练题型四导数几何意义的应用例4已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．【分析】解答本题可依题意先求l1，l2的方程，并求其交点，然后求围成的三角形的面积．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练【解】∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2－x＋2Δx＝limΔx→02x·Δx＋Δx2＋ΔxΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋1)＝2x＋1，∴y′|x＝1＝2＋1＝3，l1的方程为y＝3x－3.随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练设l2过曲线上的点(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.由l1⊥l2得2b＋1＝－13，b＝－23，∴l2的方程为y＝－13x－229.∴l1与l2的交点为A(512，－74)，l1与x轴的交点为B(1,0)，l2与x轴的交点为C(－223，0)，∴|BC|＝|－223－1|＝253，随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练∴直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积为：S△ABC＝12|BC||－74|＝12×253×74＝17524.【点评】解决与导数的几何意义有关的综合题，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线斜率，写出切线方程，然后综合有关知识解答．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练4．求函数y＝1x在x＝12处的切线与两坐标轴所围成的图形面积．跟踪训练随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练解：ΔyΔx＝112＋Δx－112Δx＝－11212＋Δx.当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－4.∴f′(12)＝－4，切线方程是y－2＝－4(x－12)，解得与坐标轴的交点是(0,4)和(1,0)，故所围成的图形的面积为2.随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练规律方法总结1．已知曲线的切点P(x0，y0)，求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)；(3)若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数不存在，就是切线与y轴平行或不存在；f′(x0)＞0，切线随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)＜0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．2．过曲线外的点P(x1，y1)，求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为(x0，y0)，求出切点坐标；(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(3)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练随堂即时巩固随堂即时巩固规律方法总结基础知识梳理上页下页第一章导数及其应用课堂互动讲练课时活页训练课时活页训练