2015江苏高考数学数列求和-复习

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-1-大方向教育个性化辅导教案教师：徐琨学生：周苏湘学科：数学时间：课题（课型）数列求和教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1anan＋1的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1.常见的拆项公式：①1nn＋1＝1n－1n＋1；②1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)；③12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；④1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-2-考点一分组转化求和法例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．(2013·安徽)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′π2＝0.大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-3-(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an＋12an，求数列{bn}的前n项和Sn.考点二错位相减求和法例2(2013·山东)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-4-考点三裂项相消求和法例3(2013·广东)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N*,且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋112.数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解．(2)已知数列前n项和Sn或者前n项和Sn与通项公式an的关系式，求通项通常利用an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜后证法”“化归法”“累加(乘)法”等．已知x，fx2，3(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．(1)求数列{an}的第n＋1项；(2)若bn是1an＋1，1an的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-5-1．数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.(2)递推关系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通项．(3)递推关系形如an＋1an＝f(n)，常用累乘法求通项．(4)递推关系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{an＋λ}是一个等比数列．(5)递推关系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn＋1转为用迭加法求解．2．数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和．(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n＋1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3．数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.1．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么称这个数列为等积数列，称k大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-6-为这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.2．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．3．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设bn＝n2n＋1Sn，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bnm对于任意的正一、填空题1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n项和Sn＝________.2．在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2013的值等于________．3．对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n＝1,2，…，则a2013＝________.x12345f(x)543124．设{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，记Mn＝ab1＋ab2＋…＋abn，则数列{Mn}中不超过2013的项的个数为________．5．在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是________．大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-7-6．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2012＝________.7．已知函数f(n)＝n2n为奇数，－n2n为偶数，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2012＝________.8．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝________.9．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝4(n≥1)且a1＝9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|1125的最小整数n是________．二、解答题10．已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋qan(q0)，求数列{bn}的前n项和Sn.11．将函数f(x)＝sin14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校-8-12.(2013·高考天津卷)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn＋1Sn≤136(n∈N*).学生对本次课的评定：○特别满意○满意○一般○差学生签字：教导主任签字：大方向教育教务