高考数学必做61道圆锥曲线问题

1高考数学必做61道圆锥曲线问题——圆锥曲线性质大全一、神奇曲线，定义统一01．距离和差，轨迹椭双02．距离定比，三线统一二、过焦半径，相关问题03．切线焦径，准线作法04．焦点切线，射影是圆05．焦半径圆，切于大圆06．焦点弦圆，准线定位07．焦三角形，内心轨迹三、焦点之弦，相关问题08．焦点半径，倒和定值09．正交焦弦，倒和定值10．焦弦中垂，焦交定长11．焦弦投影，连线截中12．焦弦长轴，三点共线13．对焦连线，互相垂直14．相交焦弦，轨迹准线15．相交焦弦，角分垂直16．定点交弦，轨迹直线17．焦弦直线，中轴分比18．对偶焦弦，比和定值2四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题36．焦弦张角，内积定值337．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等58．斜率积定，连线过定459．切点连线，恒过定点60.焦点准线，斜率等差161.焦点准线，斜率等差251．距离和差，轨迹椭双问题探究1已知动点Q在圆A：22()4xy上运动，定点(,0)B，则（1）线段QB的垂直平分线与直线QA的交点P的轨迹是什么？（2）若BMtMQ，直线l过点M与直线QA的交于点P，且0BMMP，则点Q的实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆。定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线。定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线。6轨迹又是什么？2．距离定比，三线统一问题探究2已知定点(1,0)A，定直线1l：3x，动点N在直线1l上，过点N且与1l垂直的直实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆━━━。动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线。7线2l上有一动点P，满足PAPN，请讨论点P的轨迹类型。3．切线焦径，准线作法问题探究3已知两定点(1,0),(1,0)AB，动点P满足条件8PAPB，另一动点Q满足0,()0PAPBQBPBQPPAPB，求动点Q的轨迹方程。实验成果动态课件椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线。84．焦点切线，射影是圆问题探究4已知两定点(2,0),(2,0)AB，动点P满足条件2PAPB，动点Q满足()0PAPBQBPAPB，()0PAPBQPPAPB，求动点Q的轨迹方程。实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆。焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆。焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）。95．焦半径圆，切于大圆问题探究51．已知动点P在椭圆22143xy上，F为椭圆之焦点，0PMFM，探究2OMPF是否为定值2．已知点P在双曲线22143xy上，F为双曲线之焦点，0PMFM，探究实验成果动态课件以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆（简称“大圆”）与椭圆内切，）相切以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆（此圆（简称“小圆”）与双曲线外切）相切。以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处的切线）与曲线外切）相切102OMPF是否为定值6．焦点弦圆，准线定位问题探究6过抛物线yx42上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，.0PBPA（1）求点P的轨迹方程；实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交。抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切。11（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得0)(2FPFBFA？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.7．焦三角形，内心轨迹问题探究71．已知动点P在椭圆22143xy上，12,FF为椭圆之左右焦点，点G为12FPF的内心，试求点G的轨迹方程。2．已知动点P在双曲线22143xy上，12,FF为双曲线之左右焦点，圆G是12FPF实验成果动态课件椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过双曲线实顶点的两条平行且垂直于实轴的开线段(长为2b)抛物线焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原抛物线焦点为顶点的抛物线12的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之。8．焦点半径，倒和定值问题探究8已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线交椭圆于A，B两点，是实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数1BF1+1AF1=2ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB在同支11112||||||AFBFepAB在异支11112||||||AFBFep。抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数1BF+1AF=2ep13否存在实常数，使ABFAFB恒成立。并由此求AB的最小值。（借用柯西不等式）9．正交焦弦，倒和定值问题探究9已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线12,ll分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，且12ll，是否存在实常数，使ABCDABCD恒成实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epeCDAB22||1||12。双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epeCDAB2|2|||1||12抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epeCDAB22||1||1214立。并由此求四边形ABCD面积的最小值和最大值。10．焦弦中垂，焦交定长问题探究10已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线交椭圆于A，B两点，AB中垂线交x轴于点D，是否存在实常数，使1ABFD恒成立。实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中垂线与长轴的交点为D，则FD与AB之比是离心率的一半。设双曲线焦点弦AB的中垂线与焦点所在轴的交点为D，则FD与AB之比是离心率的一半设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴的交点为D，则FD与AB之比是离心率的一半。1511．焦弦投影，连线截中问题探究11已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l交椭圆于A，B两点，实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段．。双曲线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段．。抛物线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．。16直线2l4x交x轴于点G，点,AB在直线2l上的射影分别是,NM，设直线,AMBN的交点为D，，是否存在实常数，使1GDDF恒成立。12．焦弦长轴，三点共线问题探究12实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与长轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线双曲线焦点弦端点A、B与实轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（D在无穷远处）连线与准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线17已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l交椭圆于A，B两点，,CD分别为椭圆的左右顶点，动点P满足,,PAADPCCB试探究点P的轨迹。13．对焦连线，互相垂直问题探究13实验成果动态课件椭圆左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则11NFMF双曲线左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则11NFMF抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（无穷远处）连线交相应准线于点N、M，则NFMF18已知双曲线22131xy，1F为双曲线之左焦点，过点1F的直线1l交双曲线于A，B两点，,CD分别为双曲线的左右顶点，动点P满足11,,PAADPCCB动点Q满足22,,QAACQBBD试探究1PFQ是否为定值。14．相交焦弦，轨迹准线问题探究14实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线19已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线12,ll分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线3l4x，直线AD交直线3l于点P，试判断点P、B、C是否三点共线，并证明之。15．相交焦弦，角分垂直问题探究15实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点2F的连线平分角2BFD双曲线的任意两焦点弦AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点1F的连线平分角1AFC抛物线的任意两焦点弦AB，CD端点所在直线AC和BD交点P必在准线上且交点P与焦点F的连线平分角AFD20已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线12,ll分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线3l4x，直线AD交直线3l于点P，试证明11PFAPFD。16．定点交弦，轨迹直线问题探究16实验成果动态课件过椭圆长轴直线上任意一点N（0,t）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线tax2。过双曲线实轴直线上任意一点N（0,t）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线tax2。过抛物线对称轴上任意一定点N（0,t）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线tx21已知椭圆22184xy，过点(2,0)N的直线12,ll分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线4x，17．焦弦直线，中轴分比问题探究17已知椭圆22184xy，点1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l分别交椭圆于A，B实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值。双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值。过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值。22两点，设直线AB与y轴于点M，11,,MAAFMBBF试求的值。18．对偶焦弦，比和定值23问题探究18已知方向向量为(1,3)e的直线l过点(0,23)A和椭圆2222: