-诱导公式五、六

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修4第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章三角函数第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章1．3三角函数的诱导公式第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章1．3.2诱导公式五、六第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4温故知新1．诱导公式二、三、四的记忆为：函数不变，符号看．名象限第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．cos(－420°)的值等于()A.32B．－32C.12D．－12[答案]C[解析]cos(－420°)＝cos420°＝cos(360°＋60°)＝cos60°＝12.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是()A．1B．2C．0D．2sin2α[答案]B[解析]原式＝sin2α＋cosα·cosα＋1＝1＋1＝2.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修44．已知sin(π＋α)＝－12，则cosα等于________．[答案]±32第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]由sin(π＋α)＝－12得sinα＝12，∴α是第一或第二象限角．∴cosα＝±32.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修45．化简cos－α·tan7π＋αsinπ＋α等于________．[答案]－1[解析]原式＝cosαtanπ＋α－sinα＝cosα·tanα－sinα＝－1.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4新课引入第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合……如果你的手中拿着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对称！角α关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么关系呢？第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4自主预习认真阅读教材P26－27回答下列问题．诱导公式五、六如下表：公式五sin(π2－α)＝cos(π2－α)＝公式六sin(π2＋α)＝cos(π2＋α)＝cosαsinαcosα－sinα第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4公式五和公式六可以概括为：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式锐角第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[小结]诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦．“符号看象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知sin25.7°＝m，则cos64.3°等于()A．mB．－mC．m2D.1－m2[答案]A第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知cos10°＝a，则sin100°＝________.[答案]a第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·π2±α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k的奇偶性．如sin(11π2＋α)中的k＝11是奇数，且把α看成锐角时，11π2＋α是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以sin(11π2＋α)＝－cosα.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4利用诱导公式化简下列各式(1)sin(3π－α)＝________；(2)sin(5π2＋α)＝________；(3)cos(7π2＋α)＝________；(4)tan(α－11π)＝________.[答案](1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课堂典例讲练第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4思路方法技巧命题方向1利用诱导公式进行化简、求值已知α是第三象限角，f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋3π2cos－α－π.(1)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．[分析]若f(α)的表达式很繁琐，可先化简再代入求值．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]f(α)＝sinα·cos－α·sin3π2－αcos3π2－αcosα＋π＝sinα·cosα·－cosα－sinα－cosα＝－cosα.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(1)∵cos(α－3π2)＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，∵α为第三象限角，∴cosα＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.(2)∵－1860°＝－5×360°－60°，∴f(－1860°)＝－cos(－5×360°－60°)＝－12.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4若sin(3π＋θ)＝14求cosπ＋θcosθ[cosπ＋θ－1]＋cosθ－2πcosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ的值．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]∵sin(3π＋θ)＝14，∴sinθ＝－14.∴cosπ＋θcosθ[cosπ＋θ－1]＋cosθ－2πcosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ＝－cosθcosθ[－cosθ－1]＋cosθcosθ－cosθ＋cosθ＝cosθcosθcosθ＋1－cosθcosθcosθ－1＝1cosθ＋1－1cosθ－1＝－2cos2θ－1＝2sin2θ＝2－142＝32.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4求证：2sinθ－32πcosθ＋π2－11－2sin2π＋θ＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1.命题方向2三角恒等式的证明第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[分析]第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[证明]左边＝－2sin32π－θ·－sinθ－11－2sin2θ＝2sin[π＋π2－θ]sinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ.右边＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1＝tanθ＋1tanθ－1＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ.∴左边＝右边，故原式得证．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4规律总结：利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于如何配角、如何去分析角之间的关系．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4求证：tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.[分析]解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[证明]左边＝tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝tan－α－sinαcosα－cosαsinα＝－tanαsinαcosαcosαsinα＝－tanα＝右边，∴原等式成立．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4探索延拓创新是否存在α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．命题方向3存在性、探索性问题第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[分析]题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去α(或β)解方程可求出角α与β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]由条件得，sinα＝2sinβ①3cosα＝2cosβ②①2＋②2得，sin2α＋3cos2α＝2③又∵sin2α＋cos2α＝1④由③，④得sin2α＝12即sinα＝±22，∵α∈－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cosβ＝32，又β∈(0，π)，第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4∴β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°为定值，这是因为1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，则cosπ2k＋1＋cos2π2k＋1＋…＋cos2k－12k＋1π＋cos2k2k＋1π(k∈Z)是否可以为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]可以，此定值为0.理由如下：∵12k＋1π＋2k2k＋1π＝π，故cos12k＋1π＝－cos2k2k＋1π.设Sn＝cos(12k＋1π)＋cos(22k＋1π)＋…＋cos(2k－12k＋1π)＋cos(2k2k＋1π)，第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4则Sn＝cos(2k2k＋1π)＋cos(2k－12k＋1π)＋…＋cos(22k＋1π)＋cos(12k＋1π)．将上面两式相加得：2Sn＝[cos(12k＋1π)＋cos(2k2k＋1π)]＋[cos(22k＋1π)＋cos(2k－12k＋1π)]＋…＋[cos(2k－12k＋1π)＋cos(22k＋1π)]＋[cos(2k2k＋1π)＋cos(12k＋1π)]＝0＋0＋…＋0＋0＝0，∴原式＝0.第一章1.31.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4名师辨误作答诱导公