全等三角形总结

郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。1全等三角形总结A．考点精析、重点突破、学法点拨“全等四解”全等三角形是初中平面几何的重要内容，它为解决线段以及角的相等问题提供了重要工具，也为以后的学习奠定了必要的基础，因此要学好平面几何，必须重视全等三角形的学习．那么怎样才能学好它呢？本文谈四点意见，供同学们学习时参考．组成全等三角形的基本图形大致有以下几种：①平移型，如图中的两种图形属于平移型，它们可看成是由图形随某一组对应边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段之和或差得到；②对称型，如下图中的四种图形属于对称型，它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点；③旋转型．如图中的两种图形属于旋转型，它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转而构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角或某些角的和或差中．一、从“对应”看全等三角形在说明三角形全等时，需要找出它们的对应边和对应角，那么，如何正确地找到全等三角形的对应边和对应角呢？下面介绍三种方法，希望对同学们有所帮助．(1)字母顺序确定法由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，所以可以利用字母的顺序确定对应元素．(2)图形特征确定法①有公共边的，公共边一定是对应边．如下左图，△ADB和△ADC全等，则AD一定是两个三角形的对应边．②有公共角的，公共角一定是对应角，如上中图，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角．③有对顶角的，对顶角是对应角．如上右图，△ABE和△CDF全等，则∠1和∠2是对应角．④两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）．郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。2(3)图形分离法从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分是较困难的，这时可把要证全等的两个三角形从图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素．例如图，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，∠ACM=∠NCB=60°，请说明：BM=AN.B．中考常考题型与解题方法技巧一、证明三角形全等的思路常用三角形全等证明线段、角相等，判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.可以看出，判定三角形全等一般需要三个条件，为了让你掌握这种思路，请结合口诀学习：读已知，做标记，分析起来省力气；寻隐含，看仔细，发现图中隐藏点；想欠缺，要联系，五个判定需牢记．(1)已知两边对应相等思路：找已知两边的夹角对应相等，联想到“SAS”例1如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.求证：AB=CD．(2)已知两角对应相等思路1：找出已知两角的夹边对应相等，联想“ASA'’例2如图，已知在△ABC中，F是AC的中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，CD与AE相等吗？说明理由，思路2：找已知一角的对边对应相等，联想AAS例3如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相等吗？为什么？(3)已知一边及某一邻角对应相等思路1：找已知角的另～邻边对应相等，联想“SAS”．例4如图6-32，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF．请问∠B=∠D郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。3吗？为什么？思路2：找已知边的另一邻角对应相等，联想“ASA”．例5如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE.AB与CD相等吗？说明理由．思路3：找已知边的对角对应相等，联想“AAS”．例6如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，∠B=∠D，请问AF=CE吗？为什么？(4)已知一边与其对角对应相等思路：找另一角对应相等，联想“AAS”．例7AD与BC相交于O，构成如图所示图形，已知∠C=∠D，AO=BO，请问△AOC≌△BOD吗？为什么？二、谈“截长”论“补短”常利用三角形全等证明两线段相等，在证明一条线段等于另外两条线段的和时，常用到“截长法”与“补短”法．(1)截长法所谓截长法，就是在长线段上截取一段，使截取的线段等于两条短线段中的一条线段，然后证明剩下的线段等于两条短线段中的另一条线段．例8如图，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB.(2)补短法所谓补短法，就是延长两条短线段中的一条线段，使延长的部分等于两条短线段中的另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．仍以上面例题为例．欲证AC+CD=AB，可延长AC到E，使CE=CD，连结DE，设法证明AB=AE郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。4即可．如下图：注：由以上两种证法不难看出，无论是“截长法”还是“补短法”，都是通过作辅助线构造全等三角形和等腰三角形，并借助它们的相关知识达到证明的目的．希望同学们把这两种方法掌握好．三、“测量妙法”之“全等”全等三角形在现实生活中应用十分广泛，下面就如何利用三角形全等解决生活中的测量问题举例说明．例9如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，由于条件限制无法直接测量，请你用学过的知识设计一种测量方案，并说明这样做的道理．用同样的方法可以测量底部不可以直接测量的小山的宽度、古塔的底面直径等．例10有一河流，河的两岸有两棵树A、B，假设A、B之间的距离即为河宽，现有若干标杆及卷尺，请你设计一个方案测量河宽AB，并说明道理．例11拿破仑曾在作战过程中用一种巧妙的方法测量河宽，当时法军和俄军在莱茵河的两岸作战，法军要使炮弹准确地落到对面的河岸上，就必须知道河有多宽，如何测量呢，要在平时可以过河测量，而当时双方对阵，不可能这样做．拿破仑是这样做的：如图，先站直身体，调整头上的军帽的帽舌，使他的视线最远处恰好落在河对岸C处．然后保持头部的位置不变（即保证人的视角不变），全身向左转或右转或者后转，哪个方向的地面比较平坦，便于测出距离，就转向哪个方向，再找出从帽舌下望去的最远的点D，从测量人站立的位置B到点D的距离就是河宽．你能说明理由吗？从上述几何题可以得出，当我们遇到不能直接测量某条线段长度的问题时，可以利用全等三角形，把需要测量的线段转换成为可以测量的线段，再进行测量，从而解决问题．郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。5四、“全等三角形”用武之地全等三角形的性质作用巨大，应用广泛．下面分类说明“全等三角形”之“用武之地”．(1)证明线段或角相等基本思路：先根据已知条件证明线段或角所在的两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等”证明线段或角相等．例12已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．求证：AE=CE．例13如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．(2)证明两线段的和差等于另一条线段基本思路：证明两线段和或差等于另一条线段，常利用全等等“手段”将要证明的两线段转化到同一线段上，然后再根据具体情况确定和或差，例14如图，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧．BD⊥AE于D，CE⊥AE于E求证：BD=DE+CE．例15如图，已知：AD∥BC，∠1=2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于点C．求证：AD+BC=AB．(3)证明线段的不等基本思路：利用已知条件中的角平分线、中线可以构造全等三角形，从而将相关线段转移到一个三角形里面，进而利用“三角形两边之和大于第三边”使问题获得解决．例16如图，点P是△ABC的角平分线AD上任意一点，ABAC．求证:AB-ACPB-PC.郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。6(4)证明面积相等基本思路：由于全等三角形面积相等，因此可先我出图中的全等三角形的面积，再确定要求的三角形面积和已求出的全等三角形的面积之间的关系即可．例17已知：如图,∠CAB=∠DBA，AC=BD.求证：(1)AD=BC；(2)BODAOCSS．五、全等变换话全等我们把只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括平移变换、翻折变换、旋转变换三种方式．全等变换前后的两个图形全等，具有全等图形的所有性质．利用全等变换，可以为研究几何图形提供思路．(1)判断图形变换方式例18如图ABCABC≌，通过怎样的全等变换，可以使它们重合？(2)判断线段的数量和位置关系例19如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=21AB．已知△ABE≌△ADF，指出图中线段BE和DF的数量和位置关系，并说明理由．(3)求角的大小例20如图，把长方形ABCD沿AE翻折，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE为多少度？郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。7例21如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=30°，∠C＝40°．问：(1)顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点B'与原△ABC的顶点C和A在同一直线上？(2)再继续旋转多少度时，C、A、C在同一直线上？（原△ABC是指开始时的位置）六、三角形中添加辅助线的技巧⑴倍长中线法本法常用于题目条件中有中线，且结论不易直接证明的题目．例22如图，已知AD为△ABC的中线，试说明AB+AC2AD.⑵翻折、旋转法例23如图D是等边△ABC外一点，且∠ADB=60°．试说明AD=BD+DC．⑶添线构成特殊三角形法（等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等三角形）例24如图，在△ABC中,∠B=60°，AD、CE分别为∠BAC、∠ACB的角平分线．试说明AE+CD=AC．七、“慧眼识图形”一般来说，两个全等三角形的相互位置关系无论怎样变化，总离不开“转、移、翻”这郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。8三种基本形式，如图所示：旋转型：平移型：翻转型：1．熟悉判断两个三角形全等的基本思路例25如图，已知AB=AC，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，请你说明BD=CE的道理．2．构造基本图形同学们在解题时，常遇到已知条件与结论无法直接联系的情况，这就需要构造出基本图形来创造条件，为说明结论服务．例26如图，已知AB=CD，AC=DB，试说明∠B=∠C的理由．C．数学思想方法与中考能力要求一、方程思想例1如图，若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长．例2已知从多边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线条数，求多边形内角和．郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。9例3如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上盼一点，∠BAD=20°，E是AC边上一点，连结DE，且∠ADE=∠AED，求∠EDC的度数．二、转化思想例4一个零件的形状如图所示，规定∠A=90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因，三、分类讨论思想例5已知等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，求此三角形的周长．例6已知等腰三角形周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形各边的长．例在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB于点F，DF的延长线交AC于点G，试问：⑴DF与BC有何位置关系？请说明理由．⑵FG与FE有何数量关系？请证明你的结论．ACBDGEF