等比数列的前n项和公式的几种推导方法

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赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法山东张吉林(山东省莱州五中邮编261423)等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一,其公式:当1q时,qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②当q=1时,1naSn本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想,而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位相减法,更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维,从不同的角度加以推导,以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。一般地,设等比数列123,,,naaaa它的前n项和是nSnaaaa321公式的推导方法一:当1q时,由11321nnnnqaaaaaaS得nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111nnqaaSq11)1(∴当1q时,qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②当q=1时,1naSn当已知1a,q,n时常用公式①;当已知1a,q,na时,常用公式②.拓展延伸:若na是等差数列,nb是等比数列,对形如nnab的数列,可以用错位相减法求和。例题数列na的前n项和221(1)2(2)2222nnnSnnn,则nS的表达式为().A.1222nnnSnB.122nnSnC.22nnSnD.122nnSn解析:由221(1)2(2)2222nnnSnnn,①可得23122(1)2(2)2222nnnSnnn,②②-①,得2112(12)22222212nnnnnSnnn,故选(D).点评:这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法,是高考中命题率很高的地方,应予以高度的重视。公式的推导方法二:当1q时,由等比数列的定义得,qaaaaaann12312根据等比的性质,有qaSaSaaaaaannnnn112132即qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(∴当1q时,qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11当q=1时,1naSn该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比的性质,导出了公式,给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思:定义是基础,深刻理解定义,灵活地运用好定义,往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质:已知数列na是等比数列(1q),nS是其前n项的和,则232kkkkkSSSSS,,,…,仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程:证明一:(1)当q=1时,结论显然成立;(2)当q≠1时,2311123111,,111kkkkkkaqaqaqSSSqqq21121111kkkkaqaqSSqq111kkaqqq3211321111kkkkaqaqSSqq2111kkaqqq22221221(1)kkkkaqqSSq2113211()11kkkkkkaqaqqSSSqq222121(1)kkaqqq∴22kkSS=32()kkkSSS∴232kkkkkSSSSS,,成等比数列.[这一过程也可如下证明]:证明二:2kS-kS=1232()kaaaa-123()kaaaa=1232kkkkaaaa=123()kkqaaaa=kkqS0同理,3kS-2kS=2122233kkkkaaaa=2kkqS0∴232kkkkkSSSSS,,成等比数列。对比以上两种证明过程,我们不难看出,利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。公式的推导方法三:nSnaaaa321=)(13211naaaaqa=11nqSa=)(1nnaSqaqaaSqnn1)1(∴当1q时,qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11当q=1时,1naSn“方程”在代数课程里占有重要的地位,是应用十分广泛的一种数学思想,在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程(或方程组),在已知量和未知量之间搭起桥梁,来求解基本量,使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想,使我们的思维不拘泥于书本。.以上三种推导方法,从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式,着眼点不同,侧重点各异,从而在推导方法的运用上也各有千秋,推导方法一注重补因子后错位相减;推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系;而推导方法三则是构造了1nnSS与间的递推关系式,充分利用了1nnSS与和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟,仔细体味,以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。

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