人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]-任意角的三角函数-提高

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3．会应用三角函数的定义解决相关问题。【要点梳理】要点一：三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:(1)y叫做的正弦,记做sin,即siny；(2)x叫做的余弦,记做cos,即cosx；(3)yx叫做的正切,记做tan,即tan(0)yxx.要点诠释：三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy,那么22sinyxy,22cosxxy,tanyx。要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxy在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用sin(2)sink，其中kZcos(2)cosk，其中kZtan(2)tank，其中kZ要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N.以A为原点建立y轴与y轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T)，则有向线段0M、0N、AT(或AT)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值；（2）已知角的终边在直线3yx上，求sin，cos，tan的值。【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】（1）35，45，34，43或35，45，34，43（2）31,,322或31,,322【解析】（1）22(4)(3)5||raaa。若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则33sin55yara，44cos55xara，33tan44yaxa，44cot33xaya。若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用3sin5，4cos5，3tan4，4cot3。（2）因为角的终边在直线3yx上，所以可设(,3)(0)Paaa为角终边上任意一点。则22(3)2||raaa（a≠0）。若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以33sin22aa，1cos22aa，3tan3aa。若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以33sin22aa，1cos22aa，3tan3aa。【总结升华】三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数34xy的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。举一反三：【变式1】已知角的终边上一点(3,)Pm，且2sin4m，求cos,tan的值.【解析】由题设知3x，ym，所以2222||(3)rOPm，得23rm，从而2sin4m23mmrm，解得0m或216625mm.当0m时，3,3rx，cos1,tan0xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx.精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【任意角的三角函数385947例2】【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求cos值。【答案】55或55【解析】y=|2x|，2yx取点P（1，2），'(1,2)P'||||5rOPOP15cos55xr或55类型二：三角函数的符号例2．（1）判断17tan6的符号；（2）若sin=―2cos，确定tan的符号；（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；（4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？（5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三【解析】（1）因为177466，且76是第三象限角，所以176是第三象限角。所以17tan06。（2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。（3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。（4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，又cos＞0，所以为第一或第四象限角，所以为第四象限角。（5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），所以2kk（k∈Z）。当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。综上知，角终边在第三象限。【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。举一反三：【变式1】求函数sin|cos|tan|sin|cos|tan|xxxyxxx的值域。精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】{－1，3}【解析】由题意知，角x的终边不在坐标轴上。当x是第一象限角时，sincostan3sincostanxxxyxxx；当x是第二象限角时，sincostan1sincostanxxxyxxx；当x是第三象限角时，sincostan1sincostanxxxyxxx；当x是第四象限角时，sincostan1sincostanxxxyxxx，故函数sin|cos|tan|sin|cos|tan|xxxyxxx的值域为{－1，3}。【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。类型三：诱导公式一的应用例3．（1）1112sincostan3cos654；（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。【答案】（1）122（2）2【解析】（1）原式12sin2costan(2)cos65412sincostancos6541212222。（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=3311122222.【总结升华】在弧度制下，与角终边相同的角为2k，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。举一反三：【变式1】（2015春福建龙岩期末）已知为第三象限角，sin(4)cos(6)tan(2)()tan(2)sin(8)kf．（1）化简()f；精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）若1cos()24，求()f的值．【思路点拨】（1）由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．（2）由条件利用诱导公式求得cos的值，可得()cosf的值．【答案】（1）cos；（2）154【解析】（1）∵为第三象限角，∴sin(4)cos(6)tan(2)sincos(tan)()costan(2)sin(8)tansinkf．（2）若1cos()sin24，∴215cos1sin4，∴15()cos4f．类型四：三角函数线的应用例4．若0,2，求证：sintan.【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：在Rt△POM中，sin=MP；在Rt△AOT中，tan=AT。又根据弧度制的定义，有APlOP。易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，即111222APOAMPlOAOAAT，即sin＜＜tan。【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。例5．（2015春安徽泗县月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：（1）1sin2（2）2cos2．【思路点拨】在单位圆中画出三角函数线．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（1）由[0，2π）内，51sinsin662，结合正弦线得1sin2的解集；（2）由[0，2π）内，352sinsin442，结合余弦线得2cos2的解集．【答案】（1）5{|22,}66kkkZ；（2）35{|22,}44kkkZ【解析】在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，51sinsin662，OA，OB分别为6，56的终边，由正弦线可知，满足1sin2的角的终边在劣弧AB内，∴1sin2的解集为5{|22,}66kkkZ；（2）∵在[0，2π）内，352sinsin442，OC，OD分别为34，54的终边，由余弦线可知，满足2cos2的终边在劣弧CD内，∴2cos2的解集为35{|22,}44kkkZ．【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如()fm