2020高考数学(理)(人教)大一轮复习(课件-课时作业)：选修4-4-坐标系与参数方程-(3)

系列丛书进入导航选修4－4坐标系与参数方程第1页选修4－4坐标系与参数方程选修4－4第1节系列丛书进入导航第2页大一轮复习·高三数学理科·创新方案第1节坐标系选修4－4第1节系列丛书进入导航第3页大一轮复习·高三数学理科·创新方案考纲考情考向预测1.了解坐标系的作用．2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．4.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.从近三年高考情况来看，本节在高考中总会涉及．预测2020年高考将会考查伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.选修4－4第1节系列丛书进入导航第4页大一轮复习·高三数学理科·创新方案真题模拟演练课堂探究考点突破选修4－4第1节系列丛书进入导航第5页大一轮复习·高三数学理科·创新方案课堂探究考点突破选修4－4第1节系列丛书进入导航第6页大一轮复习·高三数学理科·创新方案考点一平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝12x，y′＝13y后的图形．(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1.选修4－4第1节系列丛书进入导航第7页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：伸缩变换x′＝12x，y′＝13y，则x＝2x′，y＝3y′，(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆．选修4－4第1节系列丛书进入导航第8页大一轮复习·高三数学理科·创新方案1.伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．选修4－4第1节系列丛书进入导航第9页大一轮复习·高三数学理科·创新方案提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．选修4－4第1节系列丛书进入导航第10页大一轮复习·高三数学理科·创新方案(1)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．选修4－4第1节系列丛书进入导航第11页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由x′＝3x，2y′＝y，得x＝x′3，y＝2y′，代入曲线C：x2－y264＝1，得x′29－y′216＝1，即曲线C′的方程为x29－y216＝1，因此曲线C′的焦点F1(－5,0)，F2(5,0)．选修4－4第1节系列丛书进入导航第12页大一轮复习·高三数学理科·创新方案(2)求椭圆x24＋y2＝1经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．选修4－4第1节系列丛书进入导航第13页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：由x′＝12x，y′＝y得到x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.选修4－4第1节系列丛书进入导航第14页大一轮复习·高三数学理科·创新方案考点二极坐标与直角坐标的互化(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.选修4－4第1节系列丛书进入导航第15页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：(1)消去参数t得到C1的普通方程：x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.选修4－4第1节系列丛书进入导航第16页大一轮复习·高三数学理科·创新方案1.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．选修4－4第1节系列丛书进入导航第17页大一轮复习·高三数学理科·创新方案2．极角的确定由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝yx按上述方法确定．(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝π2；当x＝0，y＜0时，可取θ＝3π2.选修4－4第1节系列丛书进入导航第18页大一轮复习·高三数学理科·创新方案在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．选修4－4第1节系列丛书进入导航第19页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.选修4－4第1节系列丛书进入导航第20页大一轮复习·高三数学理科·创新方案(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1，π2.选修4－4第1节系列丛书进入导航第21页大一轮复习·高三数学理科·创新方案考点三曲线极坐标方程的应用(2019·太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosφ，y＝sinφ(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0＜α＜π2时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．选修4－4第1节系列丛书进入导航第22页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：(1)C1的普通方程为x22＋y2＝1，C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0，C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝21＋sin2α，联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，则|OA|2＋|OB|2＝21＋sin2α＋4sin2α＝21＋sin2α＋4(1＋sin2α)－4.令t＝1＋sin2α，选修4－4第1节系列丛书进入导航第23页大一轮复习·高三数学理科·创新方案则|OA|2＋|OB|2＝2t＋4t－4，当0＜α＜π2时，t∈(1,2)．设f(t)＝2t＋4t－4，易得f(t)在(1,2)上单调递增，∴2＜|OA|2＋|OB|2＜5，故|OA|2＋|OB|2的取值范围是(2,5)．选修4－4第1节系列丛书进入导航第24页大一轮复习·高三数学理科·创新方案极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．选修4－4第1节系列丛书进入导航第25页大一轮复习·高三数学理科·创新方案(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4－4第1节系列丛书进入导航第26页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.选修4－4第1节系列丛书进入导航第27页大一轮复习·高三数学理科·创新方案(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.选修4－4第1节系列丛书进入导航第28页大一轮复习·高三数学理科·创新方案真题模拟演练选修4－4第1节系列丛书进入导航第29页大一轮复习·高三数学理科·创新方案1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．选修4－4第1节系列丛书进入导航第30页大一轮复习·高三数学理科·创新方案解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.选修4－4第1节系列丛书进入导航第31页大一轮复习·高三数学理科·创新方案经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋