反证法优秀教学设计

1/5反证法【教材内容分析】“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。【设计思想】本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。【教学目标】知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。情感、态度、价值观：（1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。（2）通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，2/5提高学习的自我效能感。【教学重难点】重点：1．理解反证法的概念，2．体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3．用反证法证明简单的命题。难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。【教学过程】一、学前准备1．复习回顾上节课我们学习了用，直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。2．情景创设：A．B．C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A．B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？设计意图：通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤。导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。二、自学、合作探究（一）通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤。（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）3/52．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。（结论）三、例题讲解例1．写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”。设计意图：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障（1）互补的两个角不能都大于90°。（2）△ABC中，最多有一个钝角（3）cba,,中至少有一个是正数例2．已知直线a，b和平面，如果,,//abab且，求证：//a设计意图：本例是位于必修2第55页线面平行的判定定理的证明，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3．求证：2是无理数设计意图：本例是一个典型的使用反证法证明的问题，本例的难点是学生对无理数的了解很少，有理数的性质也接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位例4．已知,0,2xyxy且。求证：11,xyyx中至少有一个小于2．设计意图：结论中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法。证明：假设yx1与xy1都不小于2则21yx且21xy4/5yx21且xy21所以xyyx2211即2yx与2yx矛盾所以假设错误所以21yx和21xy至少有一个成立。四、巩固训练：1．求证：5,3,2不可能成等差数列。设计意图：结论中含否定词语，故考虑采用反证法。）设计意图：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单。五、自学、合作探究（二）根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见四类问题。和应用反证法的关键。设计意图：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识自主探究新知识六、课堂小结由学生总结本节课的收获设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。七、小试牛刀1．否定下列命题的结论：（1）在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C．。（C．D组完成）（2）如果点P在⊙O外，则dr（d为P到O的距离，r为半径）（C．D组完成）（3）在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。（A．B组完成）（4）在⊿ABC中，至多有只有一个直角。（A．B组完成）2．选择题：.2,,.2BcbaABC证的倒数成等差数列，求的三边5/5证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D。三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°