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第一章计数原理1.2.2组合第1课时组合的概念及组合数公式三维目标1．知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题，能解决有限制条件的组合问题．2．过程与方法了解组合数的意义，理解排列数A与组合数C之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．3．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点[重点]1.组合的概念和组合数公式．2.与组合有关的应用问题中，限制条件的应用．[难点]1.组合数公式．2.运用组合知识对实际问题进行分解．教学建议排列、组合问题大都来源于生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些学生之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．新课导入[导入一]“从甲、乙、丙3名同学中选出2人分别担任班长和团支书”与“从甲、乙、丙3名同学中选出2人去参加学代会”的方法数相同吗？二者有什么不同之处？[导入二]“北京、天津、上海、重庆4个民航站之间的直达航线的飞机票”与“北京、天津、上海、重庆4个民航站之间的直达航线的飞机票价”的种数相同吗？二者有什么不同之处？新课导入[教学反思]排列、组合问题联系实际，生动有趣，题型多样，新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗．教材在研究组合数的两个性质①Cmn＝Cn－mn，②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式．这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学生的学习兴趣．预习探究定义:一般地,从个不同元素中取出m(m≤n)个元素,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点一组合n合成一组预习探究[思考]排列与组合有什么共同点和不同点?解:共同点:都要从n个不同元素中取出m个元素.不同点:排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关.预习探究[讨论]判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2人分别担任班长和团支书;(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2人去参加学生代表大会.解:(1)中事件为“从3个不同的元素中,没有重复地取出2个元素,按班长、团支书的顺序排成一列”,与顺序有关,是排列问题.(2)中事件为“从3个不同的元素中,没有重复地取出2个元素,合成一组”,与顺序无关,是组合问题.预习探究[探究]“abc”与“bca”是相同的排列吗?它们是相同的组合吗?解:“abc”与“bca”所含元素相同,但元素的顺序不同,故它们是相同的组合,但不是相同的排列.组合是选择的结果,排列是先选再排的结果.预习探究1.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.2.组合数公式:C𝑛𝑚=A𝑛𝑚A𝑚𝑚=𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)…(𝑛−𝑚+1)𝑚!=𝑛!𝑚!(𝑛−𝑚)!,其中n,m∈N*,且m≤n.知识点二组合数与组合数公式C𝑛𝑚预习探究[思考]组合数公式的推导方法对我们解题有何启发?解:组合数公式的推导方法是一种非常重要的解题方法,特别是在以后解决排列、组合的综合问题时,一般都是按照“先取后排”(先组合后排列)的思路解决的.预习探究[探究]写出从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合,再由组合写出相应的排列,指出C43与A43的关系.解:从4个不同元素中取出3个元素的组合和排列如下:组合排列abc→abc,bac,cab,acb,bca,cbaabd→abd,bad,dab,adb,bda,dbaacd→acd,cad,dac,adc,cda,dcabcd→bcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb预习探究[探究]写出从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合,再由组合写出相应的排列,指出C43与A43的关系.由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数为A43,可以分如下两步:①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有C43个;②对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有A33种方法.由分步计数原理得A43=C43·A33,所以C43=A43A33=4.预习探究性质1:C𝑛𝑚=C𝑛𝑛−𝑚.性质2:C𝑛+1𝑚=C𝑛𝑚+C𝑛𝑚−1.知识点三组合数的性质预习探究[思考]怎样计算C108?解:求组合数时,当m较大时直接应用公式较麻烦,可用性质1进行计算,即C108=C102=10×92×1=45.预习探究[讨论]判断下列结论是否正确.(1)若A𝑛𝑚=A𝑛𝑘,则m=k;(2)若C𝑛𝑚=C𝑛𝑘,则m=k.解:(1)正确;(2)错误,事实上,若C𝑛𝑚=C𝑛𝑘,则m=k或m+k=n.考点类析考点一对组合概念的理解例1给出下列问题:(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?(2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票价?(往返票价相同)(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场?解:(1)飞机票与起点、终点有关,有顺序,是排列问题.(2)票价与起点、终点无关,没有顺序,是组合问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.考点类析(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?(5)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?(6)从全班40人中选出3人参加某项劳动,有多少种不同的选法?在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?(4)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.(5)3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题.(6)3人参加某项相同的劳动,没有顺序,是组合问题.考点类析考点二组合数公式及其应用例2(1)计算:3C83-2C52.(2)计算:C3𝑛38−𝑛+C21+𝑛3𝑛.(3)计算:C33+C43+…+C103.(4)证明:C𝑛𝑚+1+C𝑛𝑚−1+2C𝑛𝑚=C𝑛+2𝑚+1.解:(1)3C83-2C52=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1=148.(2)∵38−𝑛≤3𝑛,3𝑛≤21+𝑛,∴9.5≤n≤10.5,∵n∈N*,∴n=10,∴C3𝑛38−𝑛+C21+𝑛3𝑛=C3028+C3130=C302+C311=30×292×1+31=466.考点类析例2(1)计算:3C83-2C52.(2)计算:C3𝑛38−𝑛+C21+𝑛3𝑛.(3)计算:C33+C43+…+C103.(4)证明:C𝑛𝑚+1+C𝑛𝑚−1+2C𝑛𝑚=C𝑛+2𝑚+1.(3)方法一:原式=C33+C54-C44+C64-C54+…+C114-C104=C114=330.方法二:原式=C44+C43+C53+…+C103=C54+C53+…+C103=C64+C63+…+C103=…=C104+C103=C114=330.考点类析例2(1)计算:3C83-2C52.(2)计算:C3𝑛38−𝑛+C21+𝑛3𝑛.(3)计算:C33+C43+…+C103.(4)证明:C𝑛𝑚+1+C𝑛𝑚−1+2C𝑛𝑚=C𝑛+2𝑚+1.(4)证明:方法一:左边=𝑛!(𝑚+1)!(𝑛−𝑚−1)!+𝑛!(𝑚−1)!(𝑛−𝑚+1)!+2𝑛!𝑚!(𝑛−𝑚)!=𝑛!(𝑚+1)!(𝑛−𝑚+1)![(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]=𝑛!(𝑚+1)!(𝑛−𝑚+1)!(n+2)(n+1)=(𝑛+2)!(𝑚+1)!(𝑛−𝑚+1)!=C𝑛+2𝑚+1=右边.原结论得证.考点类析例2(1)计算:3C83-2C52.(2)计算:C3𝑛38−𝑛+C21+𝑛3𝑛.(3)计算:C33+C43+…+C103.(4)证明:C𝑛𝑚+1+C𝑛𝑚−1+2C𝑛𝑚=C𝑛+2𝑚+1.方法二:利用公式C𝑛𝑚=C𝑛−1𝑚+C𝑛−1𝑚−1推得左边=(C𝑛𝑚+1+C𝑛𝑚)+(C𝑛𝑚+C𝑛𝑚−1)=C𝑛+1𝑚+1+C𝑛+1𝑚=C𝑛+2𝑚+1=右边.考点类析考点三组合的简单应用例3(1)集合{0,1,2,3}的含有3个元素的子集的个数是()A.4B.5C.7D.8[答案](1)A[解析](1)由于集合中的元素是没有顺序的,一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合,这是一个组合问题,组合数是C43=4.考点类析(2)五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成条线段;如果是有向线段,共有条.[答案](2)1020[解析](2)从五个点中任取两个点恰好连成一条线段,这两个点没有顺序,所以是组合问题,连成的线段共有C52=10(条).再考虑有向线段的问题,这时两个点的先后排列次序不同对应的有向线段不同,所以是排列问题,排列数是A52=20,所以有向线段共有20条.考点类析(3)有10名教师,其中6名男教师,4名女教师.①现要从中选2名去参加会议,有种不同的选法;②现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有种不同的选法.90[解析](3)①从10名教师中选2名去参加会议的选法数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C102=10×92×1=45(种).②从6名男教师中选2名的选法有C62种,从4名女教师中选2名的选法有C42种.根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C62·C42=6×52×1×4×32×1=90(种).451.下列等式不正确的是()A.C𝑛𝑚=𝑛!𝑚!(𝑛−𝑚)!B.C𝑛𝑚=C𝑛𝑛−𝑚C.C𝑛𝑚=𝑚+1𝑛+1C𝑛+1𝑚+1D.C𝑛𝑚=C𝑛+1𝑚+1当堂自测[答案]D[解析]A是组合数公式;B是组合数性质;由𝑚+1𝑛+1C𝑛+1𝑚+1=𝑚+1𝑛+1×(𝑛+1)!(𝑚+1)!(𝑛−𝑚)!=C𝑛𝑚得C正确,D错误.2.若C𝑛2=28,则n的值为()A.9B.8C.7D.6当堂自测[答案]B[解析]因为C𝑛2=28,所以12n(n-1)=28,又n∈N*,所以n=8.3.在∠AOB的OA边上取m个点,在OB边上取n个点(均除O点外),连同O点共(m+n+1)个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作出的三角形的个数为()A.C𝑚+11C𝑛2+C𝑛+11C𝑚2B.C𝑚1C𝑛2+C𝑛1C𝑚2C.C𝑚1C𝑛2+C𝑛1C𝑚2+C𝑚1C𝑛1D.C𝑚1C𝑛+12+C𝑛1C𝑚+12当堂自测[答案]C[解析]第一类:从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点,可构造一个三角形,有C𝑚1C𝑛2个;第二类:从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点,可构造一个三角形,有C𝑛1C𝑚2个;第三类:从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点,与O点可构造一个三角形,有C𝑚1C𝑛1个.由分类加法计数原理知,可作出的三角形的个数N=