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第4课时基本不等式…2019考纲下载…1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．请注意基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．课前自助餐基本不等式若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab，当且仅当_____时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数．a＝b不小于常用不等式(1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当______时取“＝”．(2)a2＋b22≥a＋b22≥ab.(3)a2＋b2≥2|ab|.(4)x＋1x≥2.a＝b利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，那么当______时，x＋y有最小值_____．(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当______时，xy有最大值_____．x＝yx＝y1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.(2)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈(0，π2)的最小值等于4.(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．(4)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√解析(1)错误，x0时，y≤－2；(2)错误，cosx不可能为2；(3)错误，x0，y0不等式也成立；(4)错误，2a不是定值；(5)错误，对于a2＋b2≥2ab只要a＝b即可，而对于a＋b2≥ab需要a＝b0才可以；(6)正确，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加即可．2．下列不等式证明过程正确的是()A．若a，b∈R，则ba＋ab≥2ba·ab＝2B．若x0，y0，则lgx＋lgy≥2lgx·lgyC．若x0，则x＋4x≥－2x·4x＝－4D．若x0，则2x＋2－x22x·2－x＝2答案D解析∵x0，∴2x∈(0，1)，2－x1.∴2x＋2－x22x·2－x＝2.∴D正确．而A，B首先不满足“一正”，C应当为“≤”．3．(2019·沧州七校联考)设x0，y0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D．2答案D解析∵x＋4y＝40，且x0，y0，∴x＋4y≥2x·4y＝4xy.(当且仅当x＝4y时取“＝”)，∴4xy≤40.∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.4．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是()A．4B．8C．22D．42答案B解析∵2x＋4y≥22x·22y＝22x＋2y＝224＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，∴2x＋4y的最小值为8.5．(2019·四川资阳诊断)已知a0，b0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为()A．5＋22B．82C．5D．9答案D解析方法一：∵a0，b0，且2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝1.则a＋2b＝(a＋2b)(2b＋1a)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.方法二：∵a0，b0，且2a＋b＝ab，∴a＝bb－20，解得b2，则a＋2b＝bb－2＋2b＝1＋2b－2＋2(b－2)＋4≥9.6．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案30解析设y为一年的总运费与总存储费用之和，则y＝600x·6＋4x＝3600x＋4x≥23600x·4x＝240.当且仅当3600x＝4x，即x＝30时，y取最小值．授人以渔题型一利用基本不等式求最值(微专题)微专题1：拼凑法求最值(1)在下列条件下，求y＝4x－2＋14x－5的最值．①当x54时，求最小值；②当x54时，求最大值；③当x≥2时，求最小值．【解析】①∵x54，∴4x－50.y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时上式“＝”成立．即x＝32时，ymin＝5.②∵x54，∴5－4x0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，ymax＝1.③当x≥2时，y＝4x－2＋14x－5为增函数，∴ymin＝4×2－2＋14×2－5＝193.【答案】①5②1③193(2)已知0x25，则f(x)＝x(2－5x)的最大值为________．【解析】因为0x25，所以5x0，2－5x0，则f(x)＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)≤15[5x＋（2－5x）2]2＝15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，等号成立，此时f(x)取得最大值15.【答案】15★状元笔记★拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例(1)③.(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例(2)本例的关键是变形，凑出和为常数．思考题1(1)若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋2B．1＋3C．3D．4【解析】∵x2，∴f(x)＝x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．故a＝3.【答案】C(2)已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．【解析】9＝x＋3y＋xy＝(x＋3y)＋13·x·3y≤(x＋3y)＋13(x＋3y2)2，∴(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.[(x＋3y)＋18][(x＋3y)－6]≥0.∵x0，y0，∴x＋3y≥6.【答案】6(3)设a，b0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．【解析】(a＋1＋b＋3)2＝a＋b＋4＋2a＋1·b＋3≤9＋2·（a＋1）2＋（b＋3）22＝9＋a＋b＋4＝18，所以a＋1＋b＋3≤32，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝72，b＝32时等号成立．所以a＋1＋b＋3的最大值为32.【答案】32微专题2：换元法求最值已知x54，求函数y＝16x2－28x＋114x－5的最小值．【审题】通过换元转化为形如Ax＋Bx＋C形式的函数．【解析】设4x－5＝t，∵x54，∴t0.∴y＝16(t＋54)2－28·t＋54＋11t＝t2＋3t＋1t＝t＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t＝1即x＝32时，上式取“＝”号．∴x＝32时，ymin＝5.【答案】5★状元笔记★本例是通过换元，凑出和为常数的形式，进而求最值．自己总结形如y＝Ax2＋Bx＋Cx或y＝xAx2＋Bx＋C的一类函数的值域或最值的求法．思考题2(1)若将例2中的条件变为x≤45,求y的最大值．【解析】设4x－5＝t，则x＝t＋54.∵x≤45，∴t≤－95.∴y＝t2＋3t＋1t＝t＋1t＋3.设g(t)＝t＋1t，∴g′(t)＝1－1t20.∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数．∴ymax＝－95－59＋3＝2945.【答案】2945(2)若将例2中的条件变为x≠54，求y的值域．【解析】设4x－5＝t，则t≠0.∴y＝t＋1t＋3.当t0时，y≥2＋3＝5；当t＜0时，y≤－2＋3＝1.∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[5，＋∞)(3)若将例2中的条件变为0＜x＜54时，求y的最大值．【解析】x∈(0，54)时，t∈(－5，0)．y＝t＋1t＋3，y′＝1－1t2.令y′＝0，得t＝－1.t∈(－5，－1)时，y′0.t∈(－1，0)时，y′＜0.∴t＝－1时，ymax＝1.【答案】1微专题3：常数代换法求最值(1)已知正数x，y满足8x＋1y＝1，则①xy的最小值为________；②x＋2y的最小值为________．【审题】先利用乘常数、或消元法，再利用基本不等式求解最值．【解析】①∵x0，y0，∴8x＋1y≥28xy.当且仅当8x＝1y，即x＝16，y＝2，时“＝”成立．∴28xy≤1，∴xy≥32.②方法一：x＋2y＝(8x＋1y)·(x＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，当且仅当8x＋1y＝1，xy＝16yx，即x＝12，y＝3时“＝”成立，故x＋2y的最小值是18.方法二：(消元法)由8x＋1y＝1，得y＝xx－8，由y0⇒xx－80，又x0⇒x8，则x＋2y＝x＋2xx－8＝x＋2（x－8）＋16x－8＝x＋2＋16x－8＝(x－8)＋16x－8＋10≥2（x－8）·16x－8＋10＝18，当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12(x＝4舍去)，此时y＝3，“＝”成立，故x＋2y的最小18.【答案】①32②18(2)已知正数x，y满足x＋2y＝4，则①xy最大值为________；②2x＋1y最小值为________．【解析】①∵x0，y0，∴x＋2y≥2x·2y.当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1，时“＝”成立．∴2x·2y≤4，∴xy≤2.②2x＋1y＝(2x＋1y)(x＋2y)×14＝14(4＋xy＋4yx)≥14(4＋2xy·4yx)＝2.当且仅当xy＝4yx，即4y2＝x2，x＋2y＝4，x＝2，y＝1，时取等号．【答案】①2②2★状元笔记★常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．思考题3(1)(2019·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________．(2)(2017·山东卷改编)若直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5(3)(2019·安徽毛坦厂中学模拟)若θ∈(0，π2)，则y＝1sin2θ＋9cos2θ的取值范围为()A．[6，＋∞)B．[10，＋∞)C．[12，＋∞)D．[16，＋∞)【解析】(1)∵m·n0，m＋n＝－1，∴m0，n0，∴1m＋1n＝－(m＋n)(1m＋1n)＝－(2＋nm＋mn)≤－2－2nm·mn＝－4，当且仅当m＝n＝－12时，1m＋1n取得最大值－4.(2)方法一：因为直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1，所以1＝1a＋1b≥21a·1b＝2ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以ab≥2.又a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以a＋b≥4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.方法二：因为直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1，所以a＋b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.(3)∵θ∈(0，π2)，∴sin2θ，cos2θ∈(0，1)，∴y＝1sin2θ＋9cos2θ＝(1sin2θ＋9cos2θ)(sin2θ＋cos2θ)＝10＋cos2θsin2θ＋9sin2θcos2θ