复变函数-解析函数与调和函数的关系

第七节解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考2一、调和函数的定义定义.),(0,,),(2222内的调和函数为区域那末称并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数内具在区域如果二元实变函数DyxyxDyx调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.拉普拉斯3二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.证,)(内的一个解析函数为设Divuzfw.,xvyuyvxu那末.,222222yxvyuxyvxu从而4根据解析函数高阶导数定理,,数具有任意阶的连续偏导与vu,22yxvxyv,02222yuxu从而,02222yvxv同理.都是调和函数与因此vu[证毕]5.,,,的共轭调和函数称为两个调和函数中的内满足方程在换句话说uvxvyuyvxuD2.共轭调和函数的定义.),(),(,),(的共轭调和函数称为函数内构成解析函数的调和在们把使我内给定的调和函数为区域设yxuyxvDivuDyxu区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.63.偏积分法如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.解例1.),(,3),(23数和由它们构成的解析函其共轭调和函数并求为调和函数证明yxvyxyyxu,6xyxu因为,622yxu,3322xyyu,622yyu7,02222yuxu于是.),(为调和函数故yxu,6xyxuyv因为yxyvd6),(32xgxy),(32xgyxvyuxv又因为,3322xy8xxxgd3)(2故,3cx,3),(23cxyxyxv)(32xgy,3322xy得一个解析函数).3(32323cxyxiyxyw这个函数可以化为).()(3czizfw答案课堂练习.,236),(3223并求其共轭调和函数调和函数为证明yxyyxxyxu.263),(3322cxyxyyxyxv)(为任意常数c)(为任意常数c9例2.0)0(,)(,)sincos(),(fivuzfyxyxyyeyxvx使求一解析函数和函数为调已知解,1)sinsincos(yyxyyexvx,1)cossin(cosyxyyyeyvxyvxu由,1)cossin(cosyxyyyexxyxyyyeuxd]1)cossin(cos[得10),()sincos(ygxyyyxeux,得由yuxv1)sinsincos(yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex,)(cyyg故,)sincos(cyxyyyxeux于是11,)1(czizez,0)0(f由,0c得所求解析函数为.)1()(zizezfzivuzf)(ciiyixeiyeexeiyxiyx)1()1(124.不定积分法.,),(),(不定积分法求解析函数的方法称为用不定积分或已知调和函数yxvyxu不定积分法的实施过程:,)()(仍为解析函数的导数解析函数zfivuzfxxivuzf)(且yxiuuxyivv,来表示用与把zivviuuxyyx),()(zUiuuzfyx),()(zVivvzfxy13将上两式积分,得,d)()(czzUzf,d)()(czzVzf,)(zfu求适用于已知实部,)(zfv求适用于已知虚部14用不定积分法求解例1中的解析函数yxiuuzUzf)()()2(322yxyixi,32izzizzfd3)(2,13ciz),,)((1为任意纯虚数所以常数实的任意常数不可能包含的实部为已知函数因为czf例4.3),(23yxyyxu实部解)(为任意实常数c).()(3czizf故)(zf15例5解用不定积分法求解例2中的解析函数)(zf.)sincos(),(yxyxyyeyxvx虚部xyivvzVzf)()(]1)sinsincos([yyxyyeix1)cossin(cosyxyyyexiyeiyxyeiyxiyiyexxx1cos)(sin)()sin(cos16iyiyeiyxyiyexx1]sin[cos)()sin(cosieiyxeiyxiyx1)(,1izeezzzzVzfd)()(zizeezzd)1(.)1(czizez)(为任意实常数c17三、小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:1.任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.2.满足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是地位不能颠倒.放映结束，按Esc退出.