2010届高考数学二轮专题复习：三角函数(教案+习题+解析)

-1-专题复习——三角函数一、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180('1857⑵弧长公式：Rl；扇形面积公式：RlRS21212。2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角中边上任意一点P为),(yx，设rOP||则：,cos,sinrxryxytan（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin;1cossin22（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式①;sincoscossin)sin(②;sinsincoscos)cos(③tantan1tantan)tan(（2）二倍角公式二倍角公式：①cossin22sin；②2222sin211cos2sincos2cos；③2tan1tan22tan（3）经常使用的公式辅助角公式：22sincossin()abab（由,ab具体的值确定）；-2-4、三角函数的图象与性质图象的对称轴和对称中心及平移sinyx的对称轴是2xk()kZ，对称中心是(,0)k()kZ；cosyx的对称轴是xk()kZ，对称中心是(,0)2k()kZtanyx的对称中心是(,0)()2kkZ5、解三角形正、余弦定理⑴正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R2是ABC外接圆直径）⑵余弦定理：Abccbacos2222等三个；注：bcacbA2cos222等三个。Ⅱ。三角形面积公式:⑴))(21(,))()((sin2121cbapcpbpappCabahSABC；⑵内切圆半径r=cbaSABC2；外接圆直径2R=;sinsinsinCcBbAa二、考点剖析考点一：三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。例1、若角α的终边经过点P(1,-2),则tan2α的值为.解：222tan4tan2,tan2.11tan3点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。-3-考点二：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意22sincos1，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。例２、若cos2sin5,则tan=()（A）21（B）2（C）21（D）2解：由cos2sin5可得：由cos52sin，又由22sincos1，可得：2sin＋（52sin）2＝1可得sin＝－552，cos52sin＝－55，所以，tan＝cossin＝2。点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：22sincos1，与它联系成方程组，解方程组来求解。例3、是第四象限角，5tan12，则sin（）A．15B．15C．513D．513解：由5tan12，所以，有1cossin125cossin22，是第四象限角，解得：sin513点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：cossintan，同样要能想到隐含条件：22sincos1。-4-考点三：诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k+α的整数k来讲的，象限指2k+α中，将α看作锐角时，2k+α所在象限，如将cos(23+α)写成cos（23+α），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又23+α看作第四象限角，cos(23+α)为“+”，所以有cos(23+α)=sinα。【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。例4、sin330等于（）A．32B．12C．12D．32例5、（2008浙江文）若2cos,53)2sin(则.解：由3sin()25可知，3cos5；而2237cos22cos12()1525。考点四：三角函数的图象和性质【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-2，2）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数sin()yAxxR，的图象，并理解它的性质：（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（２）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（３）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的14个周期。注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。-5-例6、设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）A．abcB．acbC．bcaD．bac例7、函数ππlncos22yxx的图象是（）解：lncos()22yxx是偶函数，可排除B、D，由cosx的值域可以确定.因此本题应选A.点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。例8、把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．sin23yxxR，B．sin26xyxR，C．sin23yxxR，D．sin23yxxR，例9、在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是()（A）0（B）1（C）2（D）4.考点五：三角恒等变换【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常yxπ2π2Oyxπ2π2Oyxπ2π2Oyxπ2π2OA．B．C．D．-6-有一道解答题，难度不大，属中档题。例10、已知函数xxxxfcossinsin3)(2（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）求函数2,0)(xxf在的值域.解：xxxxfcossinsin3)(2xx2sin2122cos13232cos232sin21xx23)32sin(x（I）22T（II）∴20x∴34323x∴1)32sin(23x所以)(xf的值域为：232,3例11、已知向量a＝(cos23x，sin23x)，b＝(2sin2cosxx，)，且x∈[0，2]．（1）求ba（2）设函数baxf)(+ba，求函数)(xf的最值及相应的x的值。例12、已知函数2()sin3sinsin()(0)2fxxxx的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，23]上的取值范围.考点六：解三角形【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。例13、在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且10103cos,21tanBA（1）求tanC的值;（2）若⊿ABC最长的边为1，求b。-7-解：（1）310cos0,10BB锐角,且210sin1cos10BB,sin1tancos3BBB,11tantan23tantan()tan()1111tantan123ABCABABAB(2)由(1)知C为钝角,C是最大角,最大边为c=1,2tan1,135,sin2CCC,由正弦定理:sinsinbcBC得101sin510sin522cBbC。例14、如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。四、方法总结与高考预测1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝2－2等。（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝22basin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝ab确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。EDCBA-8-3．高考考点分析近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一