行列式计算方法

行列式计算方法1、定义法：适用于0比较多的行列式．2、按行（列）展开─降阶．适用于某行（列）0较多的行列式.3、利用7条基本性质，化为三角形行列式4、其他方法1）、析因子法例：计算221123122323152319xDx解：由行列式定义知D为x的4次多项式．又，当1x时，1，2行相同，有0D，1x为D的根．当2x时，3，4行相同，有0D，2x为D的根．故D有4个一次因式，1,1,2,2xxxx设(1)(1)(2)(2),Daxxxx令0x，则112312231223152319D，即：1(1)2(2)12.a3.a3(1)(1)(2)(2)Dxxxx2）、①、可转为箭形行列式的行列式：箭形行列式：012111220000,0,1,2,3.00nninnabbbcaDcaainca箭形行列式解法：把所有的第1i列(1,2)in的iica倍加到第1列，得：11201()niinniibcDaaaaa某些行列式（关于对角线对称的行列式）可转为箭形行列式计算，例如12111111)1111naaaa12)naxxxaxbxxxa方法：第2至第n行分别减去第1行，转为箭形行列式，自己练习．②、么型的行列式：112232111231,0,1,2,3.ninnnnnababaDainbabcccca解法：第1列的11ba加于第2列；第2列的22ba加于第3列；……；第1n列的11nnba加于第n列，即可变为三角形行列式。3）、行（列）和相等加于第1列（行）1(1)1(1)1)(1)(1)1abbanbbbbbbabanbababaanbbbaanbbaba都加于第列提出公因子121100(1)()(1)00nbbabanbabanbab第至第行分别减去第行11231123123411341(1))211321132122111221nnnnnnnnbnnnnnnnnnnnn都加到第列提取公因子123101111(1)20111101111nnnnnnn减去从最后一行起逐行其前一行111111(1)111121111nnnnnn依第列展开1111100(1)200nnnnnnnn从最后一行起逐行减去其前一行1111(1)20nnnnnnn从最后一列起逐列加上其前一列(1)(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)22nnnnnnnnnnn4）、加边法适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化简可转为箭形行列式．加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会．a）1121221212,0nnnnnnabaaaabaDbbbaaabb）121212121200,00nnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaa解：a）12112122121000nnnnnnaaaabaaDaabaaaab加边12121100100100nnaaabbb都减去第一行11111211001b00(1).niniijnniniiaaabbjbabbbb第列的倍加于第一列（j=2,3,,n+1）b）2112121111222212121111010100100nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaa都减去第一行加边1212111111222222223n2110000101110101112001102011002nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa再加边第至列都减去第列121122212201110121200121020221002nnnnaaaaaaaaa第列乘以3n21122(3,42)jjajn第至列都加于第列第列的倍都加于第列12121111112211122002000002000002ininnanaaaaaaa22112,111122(2)(2)[(2)]1122nnniinnijjinaaaaaaanana注意：0ABACC5）、三对角型行列式──递推公式法a）95004950049000950049nD解：1121150049594920,549nnnnnDDDD按第列展开即有11254(5)nnnnDDDD于是有2221232154(5)4(5)4nnnnnnDDDDDD(6145)4,n同理有2221232145(4)5(4)5(6136)5nnnnnnnDDDDDD即1111545445nnnnnnnnnDDDDD方法总结：先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D的值）．0001000100.0000001nabababababbDababab）解：121()nnnDabDabD按第列展开∴211221()()nnnnnDaDbDaDbDaD且211221()()nnnnnDbDaDbDaDaD而2221,DaabbDab22221();nnnnDaDbaabbaabb22221().nnnnDbDaaabbaaba由以上两式解得：11(1)nnnnababDabnaab6）拆项法（主对角线上、下元素相同）12)nnaxaaaaxaaDaaax解：11221100nnnnaxaaaxaaaaxaaaxaDaaaxaaa依最后一列拆开1211nnnaxaaaaxaxDaaa12111n0000000nnnxaxaxDa第一个行列式第至列都减去第列1211nnnxxxaxD11221212323.nnnnnnnDxxxaxDxxxaxD继续下去，可得：111221231124132.nnnnnnnnnDxxaxxxaxxxxaxxxaxxxxxD但1212122axaDaxaxxxaax所以：121211221323()nnnnnnnDxxxaxxxxxxxxxxxxx1212110(1)nnnniixxxDxxxax当时,注：也可以用加边法做1111011nnnaaaaaxaxaDaaaxx111101,200niiinaaaxxinxax当时,b）nabbbcabbDccabccca解：000ncbbbacbbbcabbabbDccabcabcccacca依第一列拆开111()11nnbbbabbcacDcabcca11000()000nnbbbabcacDcbabcbcbab11()()nncabacD①又：000nbbbbabcabbcabbDccabccabcccaccca依第一行拆开11111()ncabbbabDccabccca11()()nnbacabD②所以：abac①（）-②()，得()()nnncbDcabbac()．1[()()]/[(1)]()nnnnncbDcabbaccbcbDanbab当时，当时，7）、数学归纳法a）证明：12121111111(1)111nninaaDaaaaa(120naaa)证：当1n时，111111(1)Daaa，结论成立．假设nk时结论成立，即1211(1)kkniiDaaaa，则对于1nk，将1kD按最后一列拆开，得：112211111011111110111101111011111111111111kkkkaaaaDaaa1211101100111011111kkkaaaDa121kkkaaaaD121121211111(1)(1)kkkkkkiiiiaaaaaaaaaaaa所以1nk时结论成立，故原命题得证．b）证明：cos112cos112coscos2cos112cos112cosnDn证：1n时，1cos.D，结论成立．2n时，22cos12cos1cos212cosD，结论成立．假设当nk、1k时结论成立，则当1nk时，将1kD按第1k行展开得：11cos1012cos1012cos2cos(1)102cos011kkkkkDD111cos112cos2cos(1)2cos2cos112coskkkkkkDDD由归纳假设，得：12coscoscos(1)2coscoscoskDkkkk2coscoscoscossinsinkkkcoscossinsinkkcos(1)k于是1nk时结论亦成立，原命题得证．c）计算：22222121221212naaaaaDaaaaa解：分析12Da；2222312aaDaa；2233212412aaDaaaa；……，于是猜想：(1)nnDna同c)方法用数学归纳法证明（自证）．注：在这里，必须用这样的归纳法，用第二归纳法是不行的！例如：用第二数学归纳法可以证明以下命题“若{}na满足02a，21a，1232(2)nnnaaan，则21nna”但这是一个错误的命题！8）有关范德蒙行列式范德蒙行列式：122221212221211112111()nnnijjinnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxxxx证明：12222122221211112111nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx1nx第行开始，每行减去其前一行的倍2112221133221122221111100()()0()()0()()nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1依第列展开2131n12213212122222132121()()()()()()nnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx提出每列公因子232222131n12322223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx2131n11()()()nxxxxxxD于是：213141n11213141n13242n22213141n13242n2()()()()()()()()()()()()()()()()()()nnnDxxxxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxn1()nxx即：1()nijjinDxxa）12222122221212111nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx解：比较范德蒙行列式，缺少2n次幂行，所以应补之．于是考察1n阶范德蒙行列式122222121111121211111()nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxx（1）121()()()()nijjinxxxxxxxx（2）视x文字，一方面，由（1）知nD是行列式()fx中