函数、不等式恒成立问题经典总结

1函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf，(对于任意实数R上恒成立)（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（给定某个区间上恒成立）（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；2令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以x的范围是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1[m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意x都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意x都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ABC中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数m的范围。解析：由]1,0(sin,0,1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，]3,1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，]3,1(m例4：（1）求使不等式],0[,cossinxxxa恒成立的实数a的范围。解析：由于函]43,4[4),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得3xxycossin的最大值取不到2，即a取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02xfxaxxfaax，求实数a的取值范围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12221)1(211aa及得到a分别等于2和0.5，并作出函数xxyy)21(2及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1,1(x中恒成立，只须xy2在区间)1,1(x对应的图象在212xy在区间)1,1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时才能保证，而2110aa时，只有才可以，所以]2,1()1,21[a。例6：若当P(m,n)为圆1)1(22yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，则c的取值范围是（）A、1221cB、1212cC、12cD、12c解析：由0cnm，可以看作是点P(m,n)在直线0cyx的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(22yx上，实质相当于是1)1(22yx在直线的右侧并与它相离或相切。12111|10|01022ccc，故选D。同步练习1、设124()lg,3xxafx其中aR，如果(.1)x时，()fx恒有意义，求a的取值范围。分析：如果(.1)x时，()fx恒有意义，则可转化为1240xxa恒成立，即参数分离后212(22)4xxxxa，(.1)x恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果(.1)x时，()fx恒有意义1240xxa，对(,1)x恒成立.4212(22)4xxxxa(.1)x恒成立。令2xt，2()()gttt又(.1)x则1(,)2t()agt对1(,)2t恒成立，又()gt在1[,)2t上为减函数，max13()()24tgg，34a。2、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意[0,1]x恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212axxa对于任意[0,1]x恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：()fx是增函数2(1)(2)faxxfa对于任意[0,1]x恒成立212axxa对于任意[0,1]x恒成立210xaxa对于任意[0,1]x恒成立，令2()1gxxaxa，[0,1]x，所以原问题min()0gx，又min(0),0()(),2022,2gaagxgaa即2min1,0()1,2042,2aaagxaaa易求得1a。3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立max-a+5(4sinx+cos2x)设f(x)=4sinx+cos2x则22f(x)=4sinx+cos2x=-2sinx+4sinx+1=-2(sinx-1)+33∴-a+53a2方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1],不等式a+cos2x5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a0,t[-1,1]恒成立。设f(t)=2t2-4t+4-a，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a24、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.5ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x)0恒成立；ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af即,1030)2)(1(aaaa得-3a-2;综上所述：a的取值范围为[-3，1]。5、、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。解：设T1:()fx=2(1)x,T2:()logagxx,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),()fx()gx恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a1,并且必须也只需(2)(2)gf故loga21,a1,1a2.6、、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-30,若将等号两边分别构造函数即二次函数y=x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令T1：y1=x2+20x=（x+10）2-100,T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=6163;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=21∴a的范围为[6163，21）。7、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把p看作自变量，x看成参变量，则上述问-1oxyxyo12y1=(x-1)2y2=logaxxyl1l2l-20o6题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+10,令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：方法一：10(2)0xf或10(2)0xf∴x-1或x3.方法二：(2)0(2)0ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.oy2-2xy-22x