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1天体运动1．假设地球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬30°的a处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬30°的b处，如图所示，已知地球的半径是6370km，地面的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度u1=7.9km/s，假设隧道光滑。现将一个物体以u=v1的初速度从a处抛入隧道，问物体从b处出来后能飞离地面的最大高度是多少？2．如图所示，宇宙飞船沿圆轨道绕火星运行，运动速度为u0。已知火星半径为R，飞船圆轨道离火星表面的高度为H。今飞船在极短时间内，沿圆轨道径向向外侧点火喷气，使飞船获得指向火星的径向速度为au0，a是远小于1的常数。因喷气量很小，喷气后飞船的质量可视作不变。喷气后，飞船绕火星沿新的轨道运行。试求飞船椭圆轨道近火星点距离火星表面的高度hA和远火星点距火星表面的高度hB，以及飞船绕椭圆轨道的运行周期。3．如图所示，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行。为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨道近日点为地球。假定地球和火星均绕太阳做圆周运动，圆轨道半径分别为r与R，忽略其他行星对火箭的作用，求火箭应以多大的对地速度离开地球？火箭到达火星要用多长时间？24．如图所示，一质量为m=12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h=100km。为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相对飞船的速度u=10km/s。月球半径R=1700km，月球表面上自由落体的重力加速度为g月=1.7m/s2。飞船可用两种不同方式到达月球：（1）到达月球上的A点，该点正好与X点相对，如图所示（2）在X点给一指向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点，如图所示。试计算上述两种情况下所需的燃料量。5．质量为M的宇航站和其对接上的质量为m的飞船一起沿圆形轨道围绕地球运动着，其轨道半径为地球半径R的n倍（n=1.25）。某一瞬间，飞船从宇宙站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地点的距离为8nR。质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？（一般认为Mm）6.某空间站A绕地球作圆周运动，轨道半径为rA=6.73×106m.一人造地球卫星B在同一轨道平面内作圆周运动，轨道半径为rB=3rA/2，A和B均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图所示。已知地球半径为Re=6.38×106m，地球表面重力加速度为g=9.80m/s2.试求：（1）飞船离开空间站A进入椭圆转移轨道所必须的速度增量ΔvA，若飞船在远地点恰好与卫星B相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速度增量ΔvA.（2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站A至少需要绕地球转过的角度。37.为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0．01AU(AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：lAU=1.495×1011m)，并与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动)．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0。(发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近(也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上)进入符合要求的椭圆轨道绕日运行?已知地球半径Re＝6.37×106m，地面处的重力加速度g=9.80m/s2，不考虑空气的阻力．8．一宇宙飞船绕地球做圆周运动，圆轨道半径r0，开动飞船上的喷气发动机可改变运动轨道。假定每次喷气只维持极短的时间，因而喷气时间而忽略；每次喷气后，飞船质量看作不变。喷气后飞船的动量将发生变化，单位质量的动量改变vmmv）(称为比冲量。已知地球半径为R，质量为M。（1）为使飞船从r0轨道上逃逸地球的束缚，发动机作每一次喷气，试问所需最小比冲量是多少？（2）在飞船飞行过程中，飞船作第二次喷气，使在半径为r1的更高的圆轨道上飞行，试问所需比冲量是多少？应向什么方向喷气？（3）为使飞船从r1轨道上返回地球，发动机作第三次喷气，要求飞船冲地球表面的切向到达B点。喷气按两种不同方式进行，一是在A点向正前方喷气，另一是在r1轨道上适当地在A′点向外侧喷气，试分别计算两种方式所需的比冲量。若r0=2R，试比较两种比冲量的大小。9.一艘长为L、高度可略的长方体形宇宙飞船，在距地心为R处的圆轨道上运动，运动方向如图所示．设L《R，且飞船每绕地心运行一周恰好自转一周，使船身下侧表面始终对着地心．(1)宇航飞船从其头部以u=kv速率相对飞船垂直向上抛出一个质量小于飞船质量的小球，其中k《1，为飞船航行速率．假定而后当小球回到抛离点(对地心参照系)，若又与飞船相遇则做弹性碰撞，在此不考虑小球在其他位置与飞船相碰的可能性．若如此连续发N次碰撞，在小球第N+1次回到抛离点时不再能与飞船相碰，试确定k的取值范围．(2)若小球抛出的方向是沿口方向前进，试问k在什么范围内小球能在绕地球近一周时与飞船相碰?410．1844年杰出的数学家和开文学家贝塞发现天狼星的运动偏离直线路径的最大角度α为2.3//，周期T为50年，且呈正弦曲线(与地球上观察者的运动无关)，贝塞推测天狼星的弯曲是由于存在着一个较小的伴星（经过18年以后已为直接观察所证实）。如果天狠星自身的量为2.3M太，求它的伴星质量与太阳质量M太之比。（已知从天狼星看地球轨道半径RO的张角为β=0.367//；可以把天狼星和他的伴星的轨道看作圆形，且轨道平面垂直于太阳系到天狼星的方向）。11．嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510nHkm，远地点离地面高45.093010fHkm，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量32.35010mkg，地球半径36.37810Rkm，地面重力加速度29.81/gms，月球半径31.73810rkm。(1)．在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？(2)．试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。(3)．卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。512.设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。1.设在某次发射时，卫星在太空电梯中及其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。ⅰ.论证卫星脱落后不会撞击地面ⅱ.如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星，讨论该卫星从脱落时刻起，在012小时及1224小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性。2.如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为xR处有一卫星从电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零），脱离后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星卓地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。已知：地球质量246.010Mkg，半径66.410eRm的球体；引力恒量6.7G1110N22mkg；地球自转周期24eT小时；假设卫星与太空电梯脱离后只受地球引力作用。13.如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。R00.80RR