导数在不等式证明中的应用(毕业论文)

学号：0901114152导数在不等式证明中的应用学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：09级应数一班姓名：张亚宾指导教师：李静2013年4月导数在不等式证明中的应用河南师范大学本科毕业论文河南师范大学本科毕业论文2摘要不等式的证明是数学学习中的重要内容之一，其常用方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等。导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解，本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路..使用这些方法可以简洁、快速地解决一些不等式的证明问题，寻找一些规律，这对以后的教学研究会有很大的帮助。关键词导数;不等式;证明;函数;单调性；拉格朗日中值定理TheapplicationofderivateintheinequalityprovingAbstractTheproofofinequalityisoneoftheimportantcontentsofthemathematicslearning.Thecommonlyusedmethodsarecomparison,analysis,synthesismethod,inductivemethodandspecialinequalitymethod.Asthebasiccontentofderivativeofcalculus,useittoproveinequalityisakindofeffectivemethod.Itmaketheproofofinequalitiesismoreeasier.，ThispaperdiscussestheuseofLagrangemeanvaluetheorem,themonotonicityoffunctions,extremum,powerseriesexpansion,concaveandconvexinequalityproofofspecificmethods,suchas,theapplicabilityofvariousmethodsisgivenandprovedsteps,summarizestheapplicationofvariousmethodstoprovethebasictrainofthought..Byusingthosemethods,someinequalityproofquestionscanbeprovedquicklyandcompactlyandfindsomeskills.Itisofgreathelptofutureteachingresearch.Keywordsderivate;inequality;proof;function;Monotonicity;Lagrangemeanvaluetheorem前言导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的，无论在初等数学还是在高等数学中，导数都处于重要的地位。导数是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。它包括微分中值定理和导数应用。微分中值定理有：Rolle定理、lagrange中值定理、Cauchy中值定理。导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。在不等式的证明中不同的类型有不同的解法，如果题目给出的函数可导时，利用导数去证明不等式是一种行之有效的办法。用导数证明不等式最主要的是要先构河南师范大学本科毕业论文3建一个函数。本文针对微分中值定理、函数的单调性、函数的极值、函数的凹凸性、泰勒公式、两导数的不等性在不等式证明中的应用进行了举例。1利用函数单调性证明不等式该方法使用于某区间I上成立的函数不等式,一般地,证明区间I上的不等式()()fxgx时,可以选择()()()Fxfxgx作为辅助函数.对()Fx求导，判断()Fx是大于0或小于0,判定()Fx的单调性,从而证明不等式.定理[1]11.1设函数)(xf在区间I上可导,则)(xf在I上递增（递减）的充要条件是()0(()0)fxfx,1.2若xf在ba,上单调增加，则fafxfb，反之亦然1.3若xf在ba,上单调递减，则bffxfa，反之亦然.例1.已知0x，求证)1ln(xx.证：构造函数,0),1ln(xxxxF，容易看出xF在区间,0上可导，且)0(0limFxFx，由于1111xxxxf可得当,0x时，00f，所以xF在,0上是增函数，所以00FxF，所以0)1ln(xx所以当0x，求证)1ln(xx.例2.设0x,证明不等式)1(2)1ln(222xxxxxx成立.证明令2)1ln()(xxxxf,显然.0)0(f当0x时,有01111)(2xxxxxf从而)(xf在),0(内严格递增,又)(xf在0x处连续,所以,当0x时,.0)0()(fxf河南师范大学本科毕业论文4即.2)1ln(2xxx（1）设)1(2)1ln()(2xxxxxg,则0x时,0)1(2)1(2)1(2111)(2222xxxxxxxxg所以)(xg在),0(内递减,又)(xg在0x处连续,故0x时,有0)0()(gxg即)1(2)ln(2xxxx（2）由（1）、（2）可知,当0x时,有)1(2)1ln(222xxxxxx.注当要证明的不等式两端是给定的两个表达式，或者不等式一端或两端含xf，且知道0xf（或0xf）时，构造适当的辅助函数,使得证明简洁些是很有必要的，为此,往往对待证的不等式作适当的恒等变形，则需要用函数的单调性区证明。利用函数的单调性证明不等式最主要的是构造辅助函数，构造辅助函数有以下几种方法5：（1）用不等式的两边“求差”构造辅助函数.（2）用不等式两边适当“求商”构造辅助函数.（3）根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数.（4）如果不等式中涉及到幂指函数形式，则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.2利用微分中值定理证明不等式9若函数xf含有一二阶导数，而要证的不等式的两端含有xf的函数值，特别是xf的表达式不知道时，或不等式中含有xf的导数时，常用lagrange中值定理去证明8。定理22（拉格朗日中值定理）若函数)(xf满足以下条件：)1()(xf在闭区间],[ba上连续；河南师范大学本科毕业论文5)2()(xf在闭区间],[ba内可导；则在),(ba内至少存在一点，使abafbff)()()(.在拉格朗日公式中由于是ba,内的一个点，故可以表示成)10)((aba的形式，于是定理的结论就可以改为在)1,0(中至少存在一个值，使abafbfabaf.例3.证明对一切0,1hh成立不等式hhhh)1ln(1证设)1ln(xxf，则hhhh11ln)1ln()1ln(，10，当0h时，由10可推知hh111，hhhhh11.当01h时，由10可推得01.11hh，hhhhh11从而得到所要证明的不等式.例4.设)(xf为非线性函数,在],[ba上连续,在),(ba内可导,证明:),(ba使abafbff)()()(.证明引入辅助函数)()()()()()(axabafbfafxFxF由于)(xf非线性,0)(xF,故),(bac,使得0)(cF,而0)()(bFaF.设0)(cF,（0)(cF类似可证）,在],[ca与],[bc上分别使用拉格朗日中值定理,得河南师范大学本科毕业论文6),,(,0)()()(11caacaFcFF),,(,0)()()(22bccbcFbFF即).()()()(xFabafbfxf所以)()()()(22fabafbff.令})(,)(max{)(21fff故abafbff)()()(.由上可知：当所要证明的不等式与朗格朗日公式))((')()(abfafbf在形式上相似、但不完全相同时，则可以利用朗格朗日定理证明。其一般步骤如下：(1)分析不等式的具体特点，构造一个函数xf，bax,。这是证明的关键一步。(2)判断函数xf在区间ba,上是否符合拉格朗日定理的两个条件；若满足，得出结果：))((')()(abfafbf。(3)根据欲证不等式的特点，利用xf及xf的性质，将上式进行适当变形，使不等式得以证明。注意一般地,若函数满足拉格朗日中值定理的条件,则有不等式1min()[()()]max()xxfxfffx,它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函数的不等式的主要思想.定理32柯西中值定理：函数xf，xg在闭区间ba,上连续；在开区间ba,内可导；在ba,内每一点处0)('xg，),(bax，则在ba,内至少存在一点)(ba，使得)(')(')()()()(gfbgagbfaf.例5.设、g(x))(xf都是可导函数，且xgxf，证明：当ax时，河南师范大学本科毕业论文7)()()()(agxgafxf证：因为,0')('xfxg故)(xg单调增加，所以当ax时，)()(agxg，即0)()(agxg.又、g(x))(xf在xa,)(ax上满足柯西中值定理的条件.故由柯西中值定理知bagfagxgafxf,,''从而,1''gfagxgafxf故原不等式成立.当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时可用柯西中值定理证明。证明步骤有：（1）、构造两个函数xf和xg，并确定它们的区间ba,；（2）、对xf与xg在ba,上用柯西中值定理；（3）、利用与a，b的关系，对柯西公式进行加强不等式。3利用函数的极值证明不等式此法使用范围也是在某区间上成立的不等式,这里所作的辅助函数()Fx比较的不是函数的端点,而是极值和最值.由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判断极大值还是极小值，再求出最大值或最小值，从而证明不等式，这就是利用函数的最值（或极值）证明不等式的思路.定理47设函数)(xf在点0x连续,在某邻域),(00xU内可导,)1(若当),(00xxx时0)(xf,当),(00xxx时0)(xf,则)(xf在点0x取得极小值.)2(若当),(00xxx时0)(xf,当),(00xxx时0)(xf,则)(xf在点0x取得极大值.例6.证明：121pppxx)1(1.,10x1p.河南师范大学本科毕业论文8提示：由待证不等式建立辅助函数,当)(xf在定义域内可导时,只须解方程()0fx得出稳定点,再对每个稳定点应用定理3或定理4判定是否为极值点,求出极大（小）值,再借助函数的单调性证明不等式成立，具体视情况而论。证明引入辅助函数)(xf=ppxx)1(,则有])1([)(11ppxxpxf,求得稳定点2