导数在不等式证明中的应用

导数在不等式证明中的应用姓名：学号：指导老师：摘要：本文首先给出了导数在不等式证明中的一些常用方法，随后对导数的几种性质进行描述，主要研究其在不等式证明中的应用。由于不等式证明方法和一般解题方法不同，一般解题过程中所得的结果大多数是一个等式，不等式证明过程需要得到的是一个不等式，所以我们证明时要区别对待。因此本文利用单调性、最值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、函数的凹凸性等一些方法来证明不等式，有事半功倍的效果。本文在介绍这些定理的同时并举例说明不等式证明的解题思路与证明方法，并提供了一些不等式证明的技巧。关键词：导数不等式证明应用TheapplicationofderivativeinprovinginequalitiesName:TuDuoyongStudentNumber:200840510137Advisor:WangHuilingAbstract:Thispaperfirstgivesaderivativeinprovinginequalitiesinsomeofthecommonlyusedmethods,thenthederivativeoftheseveralpropertiesaredescribed,themainresearchanditsapplicationinprovinginequalities.Asaresultoftheinequalityproofmethodandthegeneralmethodofsolvingproblemsofdifferent,generallyinthecourseofsolvingtheresultsmostisanequation,inequalityproofprocessneedstobeainequality,weprovethatwhenwemakeadistinctionbetween.Thispaperusingthemonotonicity,thevalue,theLagrangemeanvaluetheorem,Taylorformula,theconcavityandconvexityoffunctionsandsomeothermethodstoproveinequality,multipliereffect.Basedontheintroductionofthesetheoremsandexamplesoftheproofoftheproblem-solvingideasandmethodsofproof,andprovidessomeinequalityprooftechniques.Keywords:derivativeinequalityproofapplication不等式证明在高中以及大学课程中经常出现，而我们在证明不等式的时候经常会出现这样那样的问题。如果这一类问题能够得到解决的话，那么我们在解决这一类问题时就可以避免一些不必要的麻烦，提高我们解题的速度，减少解题的错误率。另外不等式证明方法很多有些简单有些又比较复杂，而我们在解题是经常会出现简单的我们想不起来复杂的我们能够想起来但解题过程会经常出错。如果我们能够形成一套系统化的简单方法，这样我们在解题时即能够快速想起来又不容易出错。利用导数证明不等式比较简单，而且应用范围很广。基本上不等式2都可以化成函数形式，因此我可以把不等式化成函数然后用导数求解。这样我们的解题速度会远远大于以前并且我们解决这一类问题的能力也会得到提高。1.利用函数的单调性证明不等式不等式大多数都可以用函数的思想予以对待，为达到简化不等式的目的我们可以把不等式转化为函数，这样我们可以选择的方法就比较多了。利用函数的单调性证明不等式就是把不等式转化为函数，然后证明函数的单调性，最后利用函数单调性的结论或性质证明不等式。定理[1]1.1设函数f在区间（a,b）上可导，那么f在[a,b]上递增（或递减）的充分必要条件是'()0(0)fx在区间[a,b]内成立。用单调性证明不等式的一般步骤如下：（1）选取适当的函数()fx，确定函数()fx自变量所在的区间[,]ab，（2）求'()fx，确定()fx在区间[,]ab上的单调性，（3）根据()fx在区间[,]ab的单调性，完成目标不等式的证明。例1求证：当0x时，22(1)ln(1)xxx。证明令22()(1)ln(1)fxxxx，则2'()2ln(1)2ln(1)fxxxx，ln(1)22''()22[ln(1)]111xfxxxxxx。因201x，所以''()fx与ln(1)xx同号。由于()ln(1)Gxxx满足(0)0G，1'()1011xGxxx（0x），可见，()0Gx，于是''()0fx。由此可得'()fx在0x，单调增加，又'()0(0)fxx。所以()fx在0x单调增加，又(0)0f，故()0fx，当0x时成立，即22(1)ln(1)(0)xxxx。3评注：若已知(0)0f，要证()0fx当0x时成立，只需证()fx在0x单调增加，为此只需证'()0(0)fxx即可。若直接判断'()0fx当0x时成立不容易，常如例所作：计算'(0)f和''()fx，若'(0)0f且''()0fx(0)x，即可得出'()0(0)fxx。若直接判断''()0fx当0x时成立仍不容易，还可以继续上述过程：计算''()fx（或0lim''()xfx），求'''()fx并研究它在0x的符号等；也可以如例所作：去判定与''()fx同号的另一个函数在0x的正负号。例2求证：设0ab，证明不等式：222lnln1abaabbaab证明(1)先证右边不等式。设()lnln(0)xaxxaxaab，因为2111()'()()0222axaxxaxxxxax，故当xa时，()x单调减少，又()0a，所以当xa时，()()0xa，即lnlnxaxaax从而当0ba时，lnlnbabaab，即lnln1babaab(2)再证左边不等式。设2221()()()(lnln)22(lnln)0xafxxaxaaxxaxx故当xa时，()fx单调增加，又()0fa，所以当xa时，()()fxfa，即22()(lnln)2()0xaxxaxa从而当0ba时，有22()(lnln)2()0abxaaba即222lnlnabaabba42．利用函数的最值（或极值）证明不等式由待证不等式建立函数()fx，通过导数'()fx求出极值并判断是极大值还是极小值，再求出最大值还是最小值。从而证明不等式，这就是利用函数的最值（或极值）证明不等式的思路。定理2.1[2]设f在点0x处连续，在某邻域0(,)ux内可导，（1）若当00(,)xxx时，'()0fx；当00(,)xxx时，'()0fx。则f在点0x处取得极小值。（2）若当00(,)xxx时，'()0fx；当00(,)xxx时，'()0fx；则f在点0x处取得极大值。利用函数的最值（或极值）证明不等式的一般步骤如下：1、适当选取函数()fx；2、确定函数()fx自变量所在区间；3、求导，确定函数()fx在区间上的极值，并确定最值；4、根据函数的最值完成不等式的证明。例3试证当02x时，24ln5(1)xxx。分析：目标不等式可以变形为24(ln1)20xxxx，选取2()4(ln1)2,()0,2fxxxxxfx考察在（）内的极值情况证明令2()4(ln1)2fxxxxx，则其导函数为'()4ln22fxxx，进一步求导2(2)''()xfxx当02x，有''()0fx。又令'()0fx，得1x。1()(0,2)xfx为在上的极小值，且极小值(1)1f，故当02x时，恒有2()4(ln1)210fxxxxx，即24ln5(1)xxx(02)x5从上面的例子不难看出，用导数证明不等式较之用初等方法简单易行，思路更为清晰有利于避免不等式证明中的一些转化，放缩等问题。在不等式的证明中转化与放缩恰恰又是难点所在，所以以后遇到当函数取最大（或最小）值时不等式东成立的问题时我们可以把不等式恒成立问题化为求函数最值问题。例4设101,(1),nxxxne求证：其中n为自然数。证明令()(1)nfxnxx，则111'()[(1)][(1)][(1)]nnnnfxnnxxxnxnxxnxnxn0,0nxx，令1nnxn，则'()fx0,nxx，0,1nxx。所以()nfxxx在取得(0,1)上的最大值：1()()()(1)()111nnnnnnfxfxnnnn，又因为1111()(1)nnnnn单调减少，且1lim(1)nen，于是11()nnen(1,2,3,...)n。从而1()fxe，即1(1)nxxne(1,2,...,(0,1))nx。由此题证明过程可以看到首先选取函数()(1)nfxnxx，然后对()fx求导，得出'()fx并求出'()fx在其定义域上的符号，由此可以判断出()fx的单调性，由单调性得出()fx在区间上的最值，然后得出我们所要证明的结论。这一题用导数证明要相对简单而且容易想到，直接证明则无从下手。3．利用Lagrange中值定理证明不等式定理3.1（Lagrange中值定理）[3]若函数()fx满足如下条件：（1）f在闭区间[,]ab上连续；（2）f在开区间(,)ab内可导，6则在(,)ab内至少存在一点，使得()()'()fbfafba。Lagrange中值定理只肯定了在(,)ab内至少有一点使等式成立，但对的确切位置未作任何断言，这并不影响定理在做理论探讨和解决问题中所起的作用。利用Lagrange中值定理证明不等式。关键是选择适当的函数()x和对应的区间[,]ab使它满足Lagrange中值定理的条件，使得()()()'()baba()ab，再利用不等式的性质即可证明这个不等式。Lagrange公式还有以下几种形式供我们在不同场合选用：()()'()(),fbfafbaab；()()'(())(),01fbfafababa；()()'(),01fahfafahh；利用Lagrange中值定理证明不等式的一般步骤如下：第一步、选择适当的函数()fx和对应的区间[,]ab；第二步、验证函数在区间内满足Lagrange中值定理的条件，从而得到()()'(),(,)fbfafabba；第三步、确定导函数'()fx在所讨论的区间上的单调性；第四步、分别取,,ab确定'()fx在区间端点上的导数值，由'()'()fxf的单调性得出的范围：'()'()'()faffb，（当'()fx单调增加时）；'()'()'()faffb，（当'()fx单调减少时）；由()()()'()fbfabaf()ab这个等式就得到所要求的不等式：若当'()fx单调增加时有()()'()'()fbfafafbba或有()'()()()()'()bafafbfabafb等等。7例5，设0ab，证明不等式ln()babbabaa证明设1()ln,'()[,]fxxfxabx则在内应用拉格朗日定理得：lnln,baba其中ab1110,,abba又0ba故babababa由以上可得lnlnbabababa即ln()babbabaa