工程矩阵理论.东南.周建华

1工程矩阵理论2教材工程矩阵理论，张明淳，东南大学出版社参考书1.高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社2.MatrixAnalysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,1985(中译本，杨奇译，天津大学出版社）3要求1.重点是基本理论，基本方法；2.结合授课内容，熟悉课本；3.通过例题，掌握相关概念和理论；4.通过练习题，熟悉相关理论、方法；5.及时复习、总结，巩固所学内容。4本课程大致内容第0章复习与引深第1章线性空间与线性变换第2章内积空间、等距变换第3章矩阵的相似标准形第4章Hermite二次型第5章范数及矩阵函数第6章矩阵的广义逆5矩阵理论..1kA，A计算是方阵设.lim.2kkA极限..3的求解线性方程组bAx6第0章复习与引深1.矩阵运算2.线性方程组3.向量组的极大无关组及秩4.矩阵的秩及等价标准形7矩阵的乘法中应注意的问题1存在非零零因子例10101010nnN82不可交换..,,,00:22121交换的矩阵可求所有与互异其中设例AddddA:可以证明.,是数量矩阵则阶方阵可交换与任意如果AnA9由此导致的一些问题•乘法消去律不成立?,CBACABAA必可推出满足什么条件时，由当对给定的矩阵•一些代数恒等式对矩阵不再成立mmmmmmmmmmBABCBACBACABABA1122211,,即相应的二项式定理成立可交换时与当10例311Aknn次幂：矩阵的计算下述解：kkkkkkkkkkkkkNCNICNICNICINIANINIA1122211)()()()()(可交换，与且kkkkkkkkkkkkNCNCNCNCIA1122211112211112211000000kkknknkkkkkkkkkkkkCCCCCC11分块矩阵的乘法规则设tnijnsijbBaA,qrqqrrpqppqqBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211,在一定条件下，ABC也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：prpprrCCCCCCCCCC212222111211其中，1122ijijijiqqjCABABAB12条件：上式有意义.的行的分法一致的列的分法与BAqjiqjijiijBABABAC221113一些特殊的分块形式1.nsijnsijbBaA,均按行进行分块BA,)()()(BrArBAr14（接上页）不分块按列分块，BA.2的列向量的线性组合，的列向量均是AAB.的相应的各个列的元素且组合系数刚好是B)(),()(BrArABrtnijnsijbBaA,设15（接上页）按列分块。视作一块，将BA.3.)()(,nBrArOAB则若16（接上页）将相关矩阵分成四块。.4例4证明：可逆上三角矩阵的逆阵也是上三角矩阵。17非齐次线性方程组1.线性方程组,bAxTsnsijbbbbaA21,其中，bArAr)(有解2..,)(nrrbArAr则有唯一解若3.(),.rArAbrnnr若则通解中含有个自由未知量18齐次线性方程组的基础解系,AxnsijaA其中，对于齐次线性方程组1.有非零解当且仅当.)(nAr.,)(.2个解向量则其基础解系中含若rnnAr.,)(.3其基础解系个线性无关的解向量是则其任意若rnnAr19Gauss消元法阵化成阶梯形矩阵；用初等行变换将增广矩确定自由未知量；用回代法找出通解。2015543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列线性方程组的解例500000022111000431100111111初等行变换增广矩阵21简化阶梯形矩阵满足下列条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵：（1）各个非零行的非零首元均为1；（2）除了非零首元外，非零首元所在的列其余元素都为零。2215543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列线性方程组的解例500000022111000431100111111初等行变换增广矩阵0000002211100026140100540011初等行变换23例605540423303322054321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx础解系：求齐次线性方程组的基000001110003110011111初等行变换增广矩阵0000022100014010040011初等行变换24例61.()();2.HHHAsnbsrArAAAAxAb设是矩阵，是维列向量。证明：线性方程组恒有解。25向量组的极大无关组及秩12121212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,rrrsiiisiiiiiissr若向量组的部分组线性无关且中每个向量均可由线性表示则称是向量组的一称是极大无关组向量组的秩。.,,,21向量均是其极大无关组个线性无关的，则其中任意的秩为量组若向rrs26例7求给定向量组的极大无关组并且将其余向量用所得极大线性无关组线性表示。123451211111210,,,,011212132227矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数=A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：);()()(.1BrArBAr;)()(,.3nBrArOBAtnns则若;)()()(.4nBrArBArtnns);(),()(.2BrArABr).()()(.5BrArMrBOCAM，则设28例8若A是可逆矩阵，证明r(AB)=r(B).29例9设A是n阶幂等矩阵，证明：()()rArIAn30矩阵的等价标准形sn矩阵A的秩等于rA与矩阵rIOOO等价存在可逆矩阵,ssnnPQ，使得rIOAPQOO31.10（矩阵的满秩分解），使得矩阵及矩阵，证明存在的秩为矩阵：假设例BCACnrBrsrAns（满秩分解）32例11：.34330222311013212101的满秩分解求A00000020003633012101初等行变换解：A00000010001011010101初等行变换33线性空间和线性变换第一章34第一节线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）..:数域实或复是是非空集合设定义）（，FV:上定义了两种运算及在FV;,,,,,:的和称为记这个元素为应中有惟一的元素与之对在对加法VV.,,,的积与称为记这个元素为应中有惟一的元素与之对在对数乘k，kVFkV：35如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为是向量。kkkFkVlklkFlkVkllFlVVVVVVVV)(,,,.8;)(,,,.7;)()(,,.6;1,.5;,,.4;,,.3);()(,,,.2;,,.1对对对对使对使得元对对36例1nFV.1nnFV.2][.3xFV][.4xFVnRFCV,.5CFCV,.637例1（续）CFRV,.7通常运算,,.8RFRVRFRV,.9kkFkVV,,:;,,::对对定义新的运算38线性空间的性质则上的线性空间是数域假设,FV;.1中的零向量是惟一的V;,,.2记为的负元素是惟一的对V;,:.3则若加法消去律;)),((,,.4xxxV记有惟一解向量方程对;)1(,),().(5特别地kk或0.6kk39第二节基、维数和坐标如：在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。。，。kkkkkkVssssss是线性无关的，，，称否则线性相关，，，量组则称向使得不全为零的数若，，，定义：设212122112121,,,,.40一些重要结论.1,,,,,2.121个向量线性表示余可由其使线性相关则若sjsjs.,.,,,,,,,,,,,,.2212121的线性表示的方法是惟一而且线性表示可由则线性相关但线性无关若sss41一些重要结论（续）.,,,,,,,,,,,.3212121线性相关则线性表示可由若tst，st.,,,,,,,,,,.1212121st，tst则线性无关且线性表示可由若推论.,,,,,,,,.22121tsst则线性无关且均等价与若推论42例11000010000100001.12221121122，E，E，E，EF中在2322213243,31,32][.2xxxxxx，xF中在123.,,1,1VCFRi124.,,1,1VCFCi43定义（基，维数）..2.121212121的一组基是，，，则，称线性表示，，，均可由）（线性无关；，，，）（满足条件，，，若VVVnnnnVV，Vndim)(或维记为的维数是称44注：.1,dim个向量线性相关中任意则命题：若nVnV.注：线性空间的基不一定存在如：：V零空间0dim][xFV][dimxF45例2..1nFV..222FV].[.3xFVn.,.4RFCV.,.5CFCV.,.6RFRV46定理1.,dim的基成个线性无关的向量均构中任意则若VnVnV23222132)(,3)(,321)(:,][::3xxxfxxxfxxxfxF基下述三个向量构成一组中在证明例47定义（坐标）：nnnxxxVV221121,且的一组基是，，，设,,,,,,,2121下的坐标在基是则称nnxxx).(,,,2121列向量下的坐标在基是或