高等测量平差-5

高等测量平差孙海燕武汉大学测绘学院第五章平差模型的稳健估计第一节概述武汉大学测绘学院孙海燕经典平差关于误差的假设：观察：设有观测值nsg0,0()()0sgnEE(1,2,,)iiLLin其中有一个粗差，不妨设为，将观测值按大小排序1(1,2,,)iiLLin构造估计量：(1)(2)(),,,nLLL111211ˆnniiiiLLLnnn2()()22ˆnnLLL第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕考虑加权平均值取合适的权，可以分别得到311ˆnknkiiililLLLnlknlk141ˆniiiniipLLp123ˆˆˆ,,LLL2）粗差对估值的影响与估计量（估计方法）有关3）改变权可以改变粗差对估值的影响1）构造估计量有多种方法1lk如第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕平差的理论模型与实际模型统计量稳健性：当样本的实际模型与理论模型差别不大时，统计量的变化不大。或者说统计量对模型的微小变化反映不敏感22100(,)0()0()fLXEDQP理论模型：实际模型：通常未知，但与理论模型接近稳健性估计（抗差估计）：当观测值中含有少量粗差时，估计量不受影响，或受影响较小。评价理论模型与实际模型的方法：主要是比较由样本构成的经验分布函数与母体理论分布函数的差异（泛函）第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕构造稳健估计方法的目标（Huber）：1、在实际模型与理论模型符合时该方法具有良好的性能，但不必在某种标准下为最优的；2、在实际模型与理论模型有少许差异时，其性能所受的影响也较小；3、在实际模型与理论模型有严重偏离时，其性能仍“过的去”，或者说，不致使该方法变的无用甚至引向歧途。（模糊的、描述性的）稳健性的数学表达：定性的，定量的指标第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕稳健性的定性描述经验分布：对排序后的样本xXnjXxXnjXxxFnjjn)()1()()1(11,,1,/0)(~)()2()1(,,,nXXX经验分布是对母体分布的一个近似，统计量的理论值可表示为统计函数（泛函）)(~xFn)(xF)()())(()(xdFxxEFTF)(~)()~(xFdxFTnn当时，，则统计量具有稳健性（统计函数弱连续）。弱连续性是统计量稳健性的定性描述。FFn~)()~(FTFTn稳健性的定量指标：敏感度曲线、影响曲线、污染崩溃率第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕描述粗差的两种方法：均值平移即认为粗差的数学期望与理论分布不同)(x0),(~2iiiN方差膨胀1),0(~2kkNi即认为粗差的方差与理论分布不同污染分布：设观测误差的理论分布函数为粗差的分布函数为)(x)],(~[2NX样本的分布函数为)()()1()(xxxF第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕影响函数（InfluenceFunction,IF）与污染崩溃率IF为相对于的有界函数则统计量具有稳健性。污染崩溃率：讨论的大小，当达到某一临界点时，估计量失效FFFyIFxˆˆlimˆ,,10x第五章平差模型的稳健估计第二节稳健估计原理（位置参数的M估计）武汉大学测绘学院孙海燕一、极大似然估计或设独立观测样本，为待估参数，的分布密度为，其极大似然估计准则为nLLL,,,21XiL)ˆ,(Xlfimax)ˆ,()ˆ,()ˆ,()ˆ,()ˆ,,,,(12121niinnXlfXlfXlfXlfXlllfmax)ˆ,(ln1niiXlf二、正态分布密度下的极大似然估计准则222)(exp21)(iillfmax2)ˆ(exp)21()ˆ,,,,(21221niinnXlXlllf第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕或max)ˆ(max)ˆ,(ln121niiniiXlXlfmax2)ˆ(exp)21()ˆ,,,,(21221niinnXlXlllfminmin)ˆ(1212niiniivXl三、稳健估计的极大似然估计准则niXl1imin)ˆ,(niXlf1imax)ˆ,(ln或niXlf1imin)ˆ,(ln改造为nniiiXlXXl1i10)ˆ,(ˆ)ˆ,(稳健估计：构造函数)(或)(第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕称为M估计的似然函数，而为似然方程)()(给定一个或即定义了一个M估计方法)()(考察一个M估计是否具有稳健性，归结为考察或的性质，通常要求为对称、连续、严凸或者在正半轴上非降的函数。)()()(进一步讨论知，确定与确定观测值的权等价。所以可以通过定义定权方法确定稳健估计。)(141ˆniiiniipLLp由上式可以直观的理解可通过权控制观测值对估值的影响。第五章平差模型的稳健估计第三节稳健估计的选权迭代法武汉大学测绘学院孙海燕一、等权独立观测的选权迭代法njv1jmin)(0)('1iniibv0)(1niiiiTivvvbiiivvw)(令WlBXWBBTTˆminVVTlXBVˆ02BVTlBXBBTTˆn21法方程为非线性方程0)(1XVVvnii第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕二、不等权独立观测的选权迭代法niivp1imin)(0)('1iniiibvp0)(1niiiiiTivvvpbiiivvw)(令lPBXBPBTTˆminPVVTlXBVˆ02PBVTPlBXPBBTTˆnpppP21iiiwpp法方程为非线性方程第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕PP)0(1、列立误差方程，令各权因子初值均为1，2、3、由确定各观测值新的权因子，4、5、类似迭代计算，直至前后两次解的差值符合限差要求为止；(1)1ˆ()TTXBPBBPllXBV)1()1(ˆ)1(VlPBBPBXTT)1(1)1()2()(ˆlXBV)2()2(ˆlPBBPBXkTkTk)1(1)1()()(ˆlXBVkk)1()(ˆ|ˆˆ|)1()(kkXX三、稳健估计算法)1(P第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕四、常用的函数1、Huber函数cvvcsigncvvv)()(cvvcvcvvv222121)(cvvccvvp1)(第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕2、残差绝对和最小函数（一次范数）函数：vv)(min1niiivpiiiiiiiiivvvvvvvvvw111)(通常取kvwii1第五章平差模型的稳健估计武汉大学测绘学院孙海燕五、关于稳健估计的进一步讨论REPBBNBXLBXLPBBNBXLPBXBPBBBPLBPBBBBXLBXXBLXBVTTTTTT][)()()()()()(ˆˆ1111njnjjjrrrv2211等价权阵应根据构造，但实际计算只能通过构造V对于多参数问题，没有影响函数、污染崩溃率等概念的定义